Zadovoljstvo čitanja x. Zadovoljstvo X. Fascinantan izlet u svijet matematike jednog od najboljih svjetskih učitelja - Stephena Strogatza

Glavni problem školske matematike je taj što ona nema problema. Da, znam šta se izvodi kao zadaci u učionici: ove neukusne, dosadne vježbe. „Ovo je zadatak. Evo načina kako to riješiti. Da, ima ih na ispitu. Idite na domaće zadatke 1-15 ". Kakav turoban način učenja matematike: postati trenirana šimpanza.

Paul Lockhard

iz eseja "Plačući matematičar"

Matematika je vjerovatno jedna od najčudnijih grana znanosti. Nijedan drugi subjekt ne kombinira tako snažne suprotnosti: od strogosti formalnih dokaza do sposobnosti da se „vide“ određene konstrukcije. Matematika ima i unutarnju i vanjsku ljepotu. Nema ništa zabavnije od rješavanja matematičkih zadataka. I nijedan drugi predmet se ne uči u školi tako osrednje.

Kako obično započinje studij matematike u školi? Izdavanjem 7-8-godišnje djece neshvatljivog skupa simbola i definicija i sustava algoritama za upotrebu ove lukavštine. Neke stvari, na primjer tablica množenja, pamte se.

U narednim časovima, na osnovu ovog sistema, učenicima će se reći i natjerati ih da nauče napamet set šamanskih rituala koji im omogućavaju rješavanje mučenih problema. Bit će novih definicija, poput "pravog razlomka" i "pogrešnog razlomka", bez i najmanjeg objašnjenja odakle je poteklo i, što je najvažnije, zašto. Posebna pažnja posvetit će se rješavanju beskorisnih i mučenih problema s riječima koji imaju isti odnos sa stvarnošću kao i sami algoritmi.

Kao mali test možete predložiti da se sjetite: koliko puta u životu ste trebali da odredite pravi ili pogrešni razlomak?

Bio sam prisiljen naučiti napamet: kvadrat zbroja dva broja jednak je zbroju njihovih kvadrata, uvećanih za njihov dvostruki umnožak. Nisam imao pojma šta bi to moglo značiti; kad se nisam mogao sjetiti ovih riječi, učitelj me puknuo po glavi knjigom, što, međutim, nije ni najmanje stimuliralo moj intelekt.

Bertrand Russell

engleski filozof, logičar i matematičar

Istovremeno, nastavnici će nemilosrdno suzbijati svako neslaganje. Pokušajte napisati 5/2 umjesto 2 1/2 (s čime se uvijek želite raspravljati: ako imam tri jabuke, svaka podijeljena na pola, onda ću uzeti 5 polovina, a ne 2 jabuke i pola).

Ova tema se može nastaviti dugo vremena. Štoviše, to je već učinjeno u eseju Pola Lockharta "Plač matematičara". Prilično dobro pokazuje "Ko je kriv". Ali odgovor na drugo važno pitanje - „Šta raditi“ nije dat.

Varijanta odgovora na ovo pitanje data je u divnoj knjizi nedavno prevedenoj na ruski jezik. Knjiga se zove Užitak x-a.

Zadovoljstvo iz x

Ako ne možete nešto objasniti šestogodišnjem djetetu, ni sami to ne razumijete.

Albert Einstein

Ovo je knjiga koja mora postati radna površina za bilo kojeg nastavnika bilo kojeg tehničkog predmeta, bilo da je to matematika ili računarstvo.

Autor ovog zadovoljstva, Stephen Strogatz, matematičar je svjetske klase, profesor primijenjene matematike na Univerzitetu Cornell u SAD-u (jednom od vodećih tehničkih univerziteta u svijetu). I, sudeći prema knjizi, u ovom su čovjeku spojene dvije divne osobine koje su ovo djelo učinile bestselerom: Stephen Strogatz snažan je matematičar i učitelj u jednoj osobi.

Možete predavati, ali ne znate dobro predmet. Možete dobro znati predmet, ali ne možete predavati. Možete i jedno i drugo, ali osrednje. Stephen Strogatz je drugog tipa: on zna i zna pravilno poučavati.

O čemu govori ova knjiga? Zapravo, sve što je nekako povezano s matematikom. Na prvi pogled dijelovi knjige odabrani su kaotično (Brojevi, Omjeri, Oblici, Vremena promjena, Mogući su višestrani podaci, Granice), ali dok čitate, počinjete razumijevati ono što je autor želio prenijeti. Knjiga se temelji na istraživanju. Istraživanje koje je autor proveo zajedno sa čitaocem.

Opseg zadataka koji se razmatraju je ogroman. Svaka osoba, čak i ona koja savršeno poznaje matematiku, naučit će iz nje nešto novo. U ovom slučaju uzimaju se u obzir i praktični problemi (na primjer, obračun kamate primljene od dionica uloženih na berzi) i apsolutno apstraktni problemi.

Mnogi zadaci dati su u povijesnom kontekstu. Željela bih se ovdje zadržati odvojeno: sada su praktično svi udžbenici izbacili istoriju razvoja matematike. U međuvremenu, samo razumijevanjem povijesnog konteksta može se ići do kraja - od najjednostavnije aritmetike do modernih matematičkih teorija.

Sjetimo se, na primjer, kvadratnih jednačina. Koliko su suza prolili i učenici i nastavnici u pokušaju pamćenja čarolije: x jedan ili dva jednako minus bh plus ili minus korijen bh na kvadrat minus četiri a-tse i podijelite sve na dva a.

Inače, ovaj način pisanja više nije ispravan prema novim matematičkim standardima - cca. urednik.

Ljudi s dobrim pamćenjem i / ili "u predmetu" i dalje se mogu sjetiti Vieta-ove teoreme. Ali umjesto svega ovoga, Stephen Strogatz daje elegantno objašnjenje koje je izmislio al-Khwarizmi, uz pomoć kojeg se bez ikakvih formula može lako i prirodno pronaći rješenje (doduše nepotpuno: u to doba negativni brojevi još nisu bili svugdje korišteni). Uvjeravam vas, onaj ko pročita ovu odluku zauvijek će je pamtiti. Prvi put.

Iz poglavlja u poglavlje, težina zadataka se povećava. Ali razumijevanje nije izgubljeno, što je posebno zadovoljstvo čitanja "Zadovoljstva x". Čitatelj je uronjen u atmosferu koju mu je autor stvorio, praktički, u hrabri novi svijet.

Ne znam kako se ova knjiga može uporediti. Možda sa poznatim Feymanovim predavanjima iz fizike ili sa "Vjerovatno se šalite, gospodine Feyman." Ali jedno je sigurno: ova će knjiga ostaviti traga na dušama onih koji je čitaju.

Jednog dana u maju prošle godine sjedila sam kao asistent na testu iz matematike u 10. razredu. Dosadno sam uzeo "dodatnu" opciju rada sa učiteljskog stola i počeo je rješavati. Rad je urađen u formatu Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, koji sam završio davne 1989. godine, nakon završene srednje škole. Međutim, bez puno truda, uspio sam riješiti 11 zadataka u dijelu B- više od mnogih koji su tog dana napisali delo... Jedan od učenika + Julia Soboleva , bio sam iznenađen kad sam vidio kako sam odlučio, a onda mi je prišao:

— Ovo je prvi put da vidim asistenta koji nije učitelj matematike kako sjedi i odlučuje. Izvinite što pitam, ali da li vam je to nekako dobro došlo u životu?

Pitanje učenika desetog razreda me nije zbunilo. Činjenica je da sam s matematikom u školi imao ljubav bez uzajamnosti: u smislu da je matematika voljela mene i ja nju- Ne. Odnosno, matematika mi je uvijek bila laka, nije bilo problema, s toplinom se sjećam i svih svojih učitelja matematike ... Ali matematika mi se nije svidjela i to je to! Tako se to dešava. I nakon što sam upisao humanitarni univerzitet (po obrazovanju sam profesor istorije), odjednom sam počeo oštro osjećati nedostatak matematike. Počelo mi se činiti da skočim i postajem glup. Prema tome, do 1- 2 kursa, kako bih ispunio ovu prazninu, i sam sam (!) Uzeo i riješio zbirke olimpijskih problema, riješio cijeli udžbenik na novi način za završni čas. I- oh, cudo! Jasnoća uma i logično razmišljanje počeli su se vraćati malo po malo. A onda, već u 3. godini, pročitajte knjigu L. Carroll "Logička igra" (hvala Sergey Mikhelson), zanosio se logikom i potreba za bavljenjem matematikom nekako je nestala. I kad sam, par godina nakon diplome, počeo predavati ekonomiju, matematika mi se čvrsto uspostavila.- probleme treba nekako riješiti.
Zašto sam sve ovo napisao? Tako dugačak predgovor želi objasniti zašto sam rado prihvatio ponudu + Natalia Shanina , pomoćnik voditelja projekata izdavačke kuće + Mann, Ivanov i Ferber , uzmite na pregled knjigu "Užitak iz X-a" (takva je ispala verbalna igra riječi).
Svidjela mi se knjiga s prvih stranica: volim je kad je prikazana ljepota matematika. A volim i kad se obrasci pronađu u jednostavnom. Stoga me je već u prvom poglavlju šokiralo otkriće: ako zbrajamo neparne brojeve uzastopno, tada ćemo ukupno dobiti kvadrate brojeva koji odgovaraju broju neparnih brojeva snimljenih u nizu. Onda- da neparni brojevi tvore uglove od kojih možete napraviti kvadrat, poput ovog, na primjer:

Dok sam čitao knjigu, otkrio sam sebi nova otkrića. Imajući ljubav prema različitim algoritmima (nastojim izvesti algoritam čak i u nekim kreativnim i gotovo kreativnim procesima), nisam mogao ne primijetiti jednostavan algoritam za kvadriranje brojeva do 50. Toliko mi se svidio da sam ga čak i skicirao u bilježnicu.

Čak je i čitanje onih dijelova knjige koji su mi se iskazali teškim (pa, ne sjećam se već matematike u tolikoj količini) bilo lako. Nisam sve razumio, ali i u ovom slučaju sam uživao čitajući. Jer autor u svemu vidi konkretnu primjenu matematičkih zakona u okolnoj stvarnosti. Statistika, onkologija, čak i izbor bračnog partnera - svuda ima tragova matematike. A ovaj citat je posebno dirnut: "Još u vrijeme prije nego što je Google postojao, pretraživanja weba bila su beznadna.".

Samo su dvije stvari zasmetale čitanju.

1. Pa, ne volim čitati u elektroničkom formatu. Štoviše, u slučaju matematike odmah želite nešto odlučiti / prebrojati. Kad bih pročitao papirnatu knjigu, pisao bih na marginama i na besplatnim stranicama - knjigama izdavačke kuće + Mann, Ivanov i Ferber objavljen na takav način da se u početku pretpostavlja da će biti čitatelja koji će knjigu ne samo čitati, već i u njoj pisati.
2. Knjiga sadrži veliki broj bilješki. Izdavač tradicionalno u tekstu knjige ostavlja samo poveznice sa kratkim informacijama i pravi proširene bilješke u obliku bilješki. Za mene je ovaj format čitanja nezgodan (a u elektroničkom obliku dvostruko nezgodan). Ne volim skakanje naprijed-nazad po knjizi. A čitanje bilješki nakon čitanja glavnog teksta je nelogično. Na kraju sam ih samo pogledao očima. Iako zaslužuju da budu dio glavnog teksta: napisan zanimljivo, u istom stilu kao i tekst knjige.

Ovu knjigu preporučio bih ne samo ljubiteljima matematike, već i srednjoškolcima i studentima. Da pruži razumijevanje nekih stvari koje se čine previše apstraktnim u školskom ili univerzitetskom kursu. Pa, i za nastavnike matematike, naravno. Evo + Natalia Lvova već pročitao (recenzija). Jako bih volio preporučiti ovu knjigu i + Diana Sonina ali - avaj i ah! - kći ide istim putem kao i majka. Matematika je laka, ona je pobjednica općinske olimpijade i šta rade sa svojim učiteljem matematike s diplomama u istraživačkom radu (s kojim je više puta osvajala nagrade na raznim konferencijama), rješavajući olimpijske probleme za srednjoškolce, teško je za moje razumijevanje. Ali ona ne želi ni čuti za matematiku. Mora- zna, ali bez zadovoljstva.U međuvremenu, odgovarajući na pitanje koliko mi je matematika bila korisna u životu, pored nekih pragmatičnih stvari, uvijek imam odgovor: u školi morate dobro učiti, uključujući i to kako biste mogli pomozite svojoj djeci da nauče. Ali mojoj kćeri nije potrebna moja pomoć- snalazi se. Stoga ostaje otvoreno pitanje: zašto, s obzirom na izvrsne početne uvjete, postoji dobar nastavnik, dobra sposobnost za predmet, postoje djeca koja ne vole matematiku? Neki dan sam o tome razgovarao + Marina Kurvits , Spreman sam o tome razgovarati s drugim "poznatim matematičarima" -+ Jüri Kurvits i + Ljudmilla Rozhdestvenskaja ... Koji je razlog? I nkako možemo promijeniti situaciju? Ovdje je to riješeno u mojoj mladosti. Ali i dalje me progoni pomisao da sam, pošto ranije nisam volio matematiku, propustio neke prilike u svom životu ...

Kupite knjigu o ozonu \u003e\u003e\u003e
Kupite knjigu u Labirintu \u003e\u003e\u003e
Informacije o knjizi na web stranici izdavača \u003e\u003e\u003e

Koliko su brojevi korisni za proučavanje svijeta oko vas, u čemu je ljepota geometrije, koliko su elegantni integralni brojevi i statistika je važna? O svemu tome govori Steven Strogatz u svojoj knjizi "Užitak X-a". Autor objašnjava osnovne matematičke ideje na jednostavan i elegantan način, primjerima koje svi mogu razumjeti. stranica objavljuje jedno od poglavlja knjige koju su objavili Mann, Ivanov i Ferber.

Statistika je odjednom postala super trendovska. Pojavom Interneta, e-trgovine, društvenih mreža, projekta za dešifriranje ljudskog genoma, kao i u vezi s razvojem digitalne kulture uopće, svijet se počeo utapati u podacima. Tržnici proučavaju naš ukus i navike. Obavještajne službe prikupljaju informacije o našem boravištu, e-porukama i telefonskim pozivima. Sportski statističari žongliraju brojevima odlučujući koje će igrače kupiti, koga regrutovati i koga staviti na klupu. Svi teže kombiniranju točaka u grafikon i otkrivanju obrazaca u neurednoj kolekciji podataka.

Nije iznenađujuće što se ovi trendovi odražavaju na učenje. "Okrenimo se statistici", upozorava Greg Mankiw, ekonomist sa Univerziteta Harvard u svojoj kolumni za New York Times.

„Kurikulum za matematiku u srednjoj školi previše vremena posvećuje tradicionalnim temama poput euklidske geometrije i trigonometrije. Ove mentalne vježbe korisne za prosječnu osobu, međutim, nisu korisne u svakodnevnom životu. Studenti bi bili mnogo korisniji da saznaju više o teoriji vjerovatnoće i statistici. " David Brooks ide još dalje. U svom članku o disciplinama koje zaslužuju pažnju zbog pristojnog obrazovanja, on piše: „Uzmite statistiku. Vidjet ćete, ispada da će vam znanje o tome šta je standardna devijacija biti vrlo korisno u životu. "

Vjerovatno je, ali i dobro razumjeti koja je distribucija. Ovo je prva stvar o kojoj namjeravam razgovarati. I želio bih vam skrenuti pažnju na to, jer je ovo jedna od glavnih lekcija statistike: stvari se čine beznadno slučajnim i nepredvidljivim kad se razmatraju odvojeno, ali u cjelini otkrivaju obrazac i predvidljivost.

Možda ste ovaj princip demonstrirali u naučnom muzeju (ako ne, videozapisi se mogu naći na Internetu). Tipičan eksponat je naprava pod nazivom Galton board, koja pomalo podsjeća na fliper, samo bez peraja. Unutar nje, u jednakim intervalima, nalaze se čak i redovi pribadača.

Tabla Galton

Iskustvo započinje stotinama kuglica koje su lansirane na vrh ploče Galton. Kad padnu, sudare se sa zatičima i, s jednakom vjerovatnoćom, odskoče udesno, a zatim ulijevo, a zatim se rašire na dnu daske, padajući u odjeljke iste širine. Visina stupca kuglica pokazuje kolika je vjerovatnoća da lopta može biti na određenom mjestu. Većina kuglica nalazi se približno na sredini, s bokova ih je manje, a na rubovima još manje.

Općenito, slika je izuzetno predvidljiva: kuglice uvijek čine raspored zvona, iako je nemoguće predvidjeti gdje će svaka pojedinačna kugla završiti.

Kako se pojedinačne nesreće pretvaraju u općenite obrasce? Ali tako funkcionira slučajnost. Najviše lopti se nakupilo u srednjem stupcu, jer će mnogi od njih prije kotrljanja napraviti približno jednak broj skokova udesno i ulijevo, a kao rezultat toga, naći će se negdje u sredini. Nekoliko usamljenih kuglica, smještenih na ivicama, tvore repove za raspodjelu - to su one kuglice koje su se, sudarajući se s iglama, uvijek odbijale u jednom smjeru. Takvi poskoci su malo vjerojatni, zbog čega je tako malo lopti oko ivica.

Baš kao što se položaj svake kugle određuje zbirom mnogih slučajnih događaja, mnogi su fenomeni na ovom svijetu rezultat mnogih malih okolnosti i podvrgavaju se krivulji u obliku zvona. Osiguravajuće kompanije rade prema ovom principu. Oni mogu tačno imenovati broj svojih klijenata koji umiru svake godine. Međutim, oni ne znaju tačno ko će ovaj put imati peh.

Ili uzmite, na primjer, visinu osobe. Ovisi o nebrojenim nesrećama koje uključuju genetiku, biokemiju, prehranu i okoliš. Stoga je velika vjerojatnost da će kada se uzmu zajedno visina odraslih muškaraca i žena biti krivulja u obliku zvona.

Na blogu pod nazivom "Lažni podaci koje ljudi prijavljuju o njima na Internetu", OkCupidova služba za statistiku upoznavanja nedavno je objavila grafikon rasta njihovih kupaca, odnosno vrijednosti koje su citirali. Utvrđeno je da pokazatelji rasta za oba spola oblikuju zvonoliku krivulju kako se očekivalo. Iznenađujuće je, međutim, da su obje distribucije pomaknute za oko dva centimetra udesno od očekivanih vrijednosti.

Strogats S. Zadovoljstvo iz H. - M .: Mann, Ivanov i Ferber, 2014.

Dakle, ili su kupci koje je OkCupid anketirao natprosječni ili dodaju nekoliko centimetara svojoj visini kada se opisuju na mreži.

Idealizirana verzija ovih zvonolikih krivulja ono je što matematičari nazivaju normalnom raspodjelom. Ovo je jedan od najvažnijih pojmova u statistici, koji ima teorijsku osnovu. Može se pokazati da normalna raspodjela nastaje kada se doda veliki broj malih slučajnih faktora, od kojih svaki djeluje neovisno od ostalih. I mnoge stvari se događaju na ovaj način.

Ali ne sve. I ovo je druga tačka na koju bih vam skrenuo pažnju. Normalna raspodjela nije toliko sveprisutna kako se čini. Stotinama godina, a posebno u posljednjih nekoliko decenija, naučnici i statističari primjećuju postojanje mnogih fenomena koji odstupaju od ove krivulje i slijede vlastiti raspored. Zanimljivo je da se takve vrste distribucija praktično ne spominju u udžbenicima o osnovnoj statistici, a ako se i dogode, obično se smatraju nekom vrstom patologije.

Ovo je cudno. Pokušat ću objasniti da mnogi fenomeni modernog života poprimaju više značenja kad se shvate ove "patološke" raspodjele. Ovo je nova normalnost. Uzmimo za primjer distribuciju gradskih veličina u Sjedinjenim Državama. Umjesto da se skuplja oko neke prosječne krivulje u obliku zvona, velika većina gradova je mala i stoga se skuplja na lijevoj strani grafikona.

Strogats S. Zadovoljstvo iz H. - M .: Mann, Ivanov i Ferber, 2014.

I što je veća populacija grada, takvi se gradovi rjeđe nalaze. Drugim riječima, agregatna raspodjela bit će u obliku slova L, a ne u obliku zvona.

I to nije iznenađujuće. Svi znaju da je mnogo manje gradova nego malih gradova. Iako nisu toliko očite, veličine gradova slijede lijepu jednostavnu raspodjelu - kada se gledaju na logaritamskoj skali.

Pretpostavit ćemo da je razlika između dva grada ista ako se njihova populacija razlikuje isti broj puta (baš kao što se bilo koja dva klavirska tastera, razmaknuta za jednu oktavu, uvijek razlikuju po polovini frekvencije). I učinimo isto na vertikalnoj osi.

Strogats S. Zadovoljstvo iz H. - M .: Mann, Ivanov i Ferber, 2014.

Podaci se sada nalaze na krivulji koja je gotovo savršena ravna linija. Na osnovu svojstava logaritama, lako je zaključiti da je izvorna krivulja u obliku slova L zavisnost stepena, koja se opisuje funkcijom oblika

gdje je x broj stanovnika grada, y je broj gradova ove veličine, c je konstanta, a eksponent a (eksponent) određuje negativni nagib ravne linije.

Raspodela snage ima neka svojstva koja su nelogična sa stanovišta tradicionalne statistike. Na primjer, za razliku od normalne raspodjele, njihovi modusi, medijani i sredstva se ne podudaraju zbog iskrivljenih asimetričnih L-krivulja.

Predsjednik Bush imao je veliku korist od toga, objavivši 2003. da su smanjenjem poreza svake porodice u prosjeku uštedjeli 1.586 dolara. Iako je ovo matematički tačno, ovdje je iskoristio prosječni odbitak, koji je sakrio ogromne odbitke od stotine hiljada dolara koje je dobilo 0,1% najbogatijeg stanovništva zemlje. Poznato je da „rep“ na desnoj strani raspodjele dohotka prati ovisnost o moći, i u takvoj je situaciji korištenje prosjeka obmanjujuće, jer je daleko od njegove stvarne vrijednosti. U stvari, većina porodica vratila je manje od 650 dolara. U ovoj raspodjeli, medijan je znatno manji od srednje vrijednosti.

Ovaj primjer pokazuje najvažnije svojstvo raspodjele po zakonu: oni imaju "teške repove" u usporedbi s barem malim "tekućim repovima" normalne raspodjele. Ovako veliki repovi, iako su rijetki, češći su u raspodjeli podataka od redovnih krivulja zvona.

Na crni ponedjeljak, 19. oktobra 1987., industrijski prosjek Dow Jones-a pao je 22%. U odnosu na uobičajeni nivo volatilnosti na berzi, ovaj je pad iznosio više od dvadeset standardnih odstupanja. Prema tradicionalnoj statistici (koja koristi normalnu raspodjelu), takav događaj je gotovo nemoguć: njegova vjerovatnoća je manja od jednog događaja na 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10 do 50. stepena). Međutim, to se dogodilo - jer kolebanje cijena na berzi nije odgovaralo normalnoj distribuciji.

Distribucije s "teškim repom" prikladnije su za njihovo opisivanje. To se događa sa zemljotresima, požarima i poplavama, što osiguravajućim kompanijama otežava upravljanje rizikom.

Isti matematički model opisuje broj poginulih u ratovima i terorističkim napadima, kao i druge, mnogo mirnije stvari, poput broja riječi u romanu ili broja seksualnih partnera koje osoba ima.

Iako se zbog pridjeva kojima se opisuju dugi repovi čine manje omiljenim, distribucije s repovima ponosno nose repove. Hrabar, težak i dug? Da, jeste. Ali u tom slučaju pokažite mi šta je normalno?

Ovu knjigu dobro dopunjuju:

Quanta

Scott Patterson

Mozak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Fleksibilna svijest

Carol Dweck

Fizika berze

James Weatherall

Radost od X

Obilazak matematike, od jednog do beskraja

Stephen Strogatz

Zadovoljstvo X

Uzbudljivo putovanje u svijet matematike jednog od najboljih svjetskih učitelja

Informacije od izdavača

Objavljeno na ruskom jeziku prvi put

Objavljeno uz dozvolu Stevena Strogatza, pod brojem Brockman, Inc.

Strogats, P.

Zadovoljstvo X... Fascinantno putovanje u svijet matematike jednog od najboljih svjetskih učitelja / Stephen Strogatz; per. sa engleskog - M .: Mann, Ivanov i Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Ova knjiga ima potencijal da iz temelja promijeni vaše mišljenje o matematici. Sastoji se od kratkih poglavlja, u svakom od kojih ćete otkriti nešto novo. Naučit ćete koliko su brojevi korisni za proučavanje svijeta oko vas, shvatit ćete u čemu je ljepota geometrije, upoznat ćete se s gracioznošću integralnog računa, vidjeti važnost statistike i doći u kontakt s beskonačnošću. Autor objašnjava osnovne matematičke ideje na jednostavan i elegantan način, sjajnim primjerima koje svi mogu razumjeti.

Sva prava zadržana.

Nijedan dio ove knjige ne može se reproducirati u bilo kojem obliku bez pismenog odobrenja nosilaca autorskih prava.

Pravnu podršku izdavačkoj kući pruža advokatska kancelarija "Vegas-Lex"

© Steven Strogatz, 2012. Sva prava pridržana

© Prevod na ruski, izdanje na ruskom, dizajn. LLC "Mann, Ivanov i Ferber", 2014

Predgovor

Imam prijatelja koji je, uprkos svom zanatu (on je umjetnik), strastven prema nauci. Kad god se okupimo, on oduševljeno govori o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. Ali čim počnemo razgovarati o matematici, osjeća drhtanje u koljenima, što ga jako uznemirava. Žali se da ti čudni matematički simboli ne samo da ne prkose njegovom razumijevanju, već ponekad ne zna ni kako ih izgovoriti.

U stvari, razlog njegovog odbijanja matematike je mnogo dublji. On nema pojma šta matematičari uopće rade i na što misle kad kažu da je dati dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da jednostavno moram sjesti i početi ga učiti od samog početka, doslovno 1 + 1 \u003d 2, i udubiti se u matematiku koliko god može.

Iako se ova ideja čini ludom, upravo ću to pokušati primijeniti u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane nauke, od aritmetike do napredne matematike, kako bi je oni koji su željeli drugu priliku napokon iskoristili. I ovaj put ne morate sjediti za svojim stolom. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali to će vam pomoći da shvatite šta ova disciplina izučava i zašto je tako uzbudljivo za one koji je razumiju.

Istražit ćemo kako slam zakucavanja Michaela Jordana mogu objasniti osnove računa. Pokazaću vam jednostavan i neverovatan način da razumete osnovni teorem Euklidove geometrije - Pitagorin teorem. Pokušat ćemo doći do suštine nekih misterija života, velikih i malih: da li je Jay Simpson ubio svoju suprugu; kako pomaknuti madrac tako da traje što duže; koliko partnera treba promijeniti prije stupanja u brak - i vidjet ćemo zašto su neke beskonačnosti veće od drugih.

Matematika je svugdje, samo je trebate naučiti prepoznati. Možete vidjeti sinusoidu na poleđini zebre, čuti odjeke Euklidovih teorema u Deklaraciji o nezavisnosti; šta da kažem, čak i u suhim izvještajima koji su prethodili Prvom svjetskom ratu, postoje negativne brojke. Također možete vidjeti kako nova područja matematike utječu na naš život danas, na primjer, kada pretražujemo restorane pomoću računara ili pokušavamo barem razumjeti, ili još bolje, preživjeti zastrašujuće oscilacije na berzi.

Serija od 15 članaka pod opštim naslovom "Temelji matematike" pojavila se na mreži krajem januara 2010. Kao odgovor na njihovu objavu, pretočena su pisma i komentari čitalaca svih uzrasta, uključujući mnoge učenike i nastavnike. Bilo je i jednostavno znatiželjnih ljudi koji su iz ovog ili onog razloga "zalutali" u razumijevanju matematičke nauke; sad su osjećali da su nešto propustili. oi želio bih pokušati ponovo. Posebno me obradovala zahvalnost roditelja na činjenici da su, uz moju pomoć, mogli svojoj djeci objasniti matematiku, a i sami su je počeli bolje razumjeti. Činilo se da su čak i moje kolege i drugovi, vatreni ljubitelji ove nauke, uživali čitati članke, osim u onim trenucima kada su se međusobno nadmetali dajući svakakve preporuke za poboljšanje mog umovanja.

Uprkos popularnom vjerovanju, postoji očigledan interes za matematiku u društvu, iako se malo pažnje posvećuje ovom fenomenu. To samo čujemo o strahu od matematike, a opet, mnogi bi to rado pokušali bolje razumjeti. A kad se to jednom dogodi, bit će ih teško otrgnuti.

Ova knjiga će vas upoznati s nekim od najizazovnijih i najmodernijih ideja u svijetu matematike. Poglavlja su mala, lako se čitaju i ne ovise posebno jedno o drugom. Među njima ima i onih obuhvaćenih prvom serijom članaka u New York Timesu. Dakle, čim osjetite laganu matematičku glad, nemojte se ustručavati pozabaviti se sljedećim poglavljem. Ako želite detaljnije razumjeti pitanje koje vas zanima, na kraju knjige nalaze se bilješke s dodatnim informacijama i preporukama, što još možete pročitati o ovome.

Radi udobnosti čitatelja koji vole korak-po-korak pristup, podijelio sam materijal na šest dijelova prema tradicionalnom redoslijedu tema proučavanja.

Prvi dio "Brojevi" započinje naše putovanje aritmetikom u vrtiću i osnovnoj školi. Pokazuje koliko su brojevi korisni i koliko su magično efikasni u opisivanju svijeta oko vas.

Dio II "Odnosi" preusmjerava pažnju sa samih brojeva na omjer između njih. Te su ideje srž algebre i prvi su alat za opisivanje kako jedno utječe na drugo, pokazujući uzročnost širokog spektra stvari: ponude i potražnje, poticaja i odgovora - ukratko, svih vrsta veza koje svijet čine toliko raznolikim i bogatim. ...

Treći dio "Figure" ne govori o brojevima i simbolima, već o figurama i prostoru - domenu geometrije i trigonometrije. Te teme, zajedno s opisom svih uočljivih objekata putem obrazaca, uz pomoć logičkih zaključaka i dokaza, podižu matematiku na novi nivo preciznosti.

U IV dijelu, "Vrijeme za promjene", pogledati ćemo računicu, najimpresivniju i najsvestraniju granu matematike. Kalkulacija omogućava predviđanje putanje planeta, ciklusa plima i oseka i omogućava razumijevanje i opisivanje svih periodično promjenjivih procesa i pojava u Svemiru i u nama. Važno mjesto u ovom dijelu posvećeno je proučavanju beskonačnosti, čija je pacifikacija bila proboj koji je omogućio rad računara. Proračuni su pomogli u rješavanju mnogih problema koji su se pojavili u drevnom svijetu, a to je, u konačnici, dovelo do revolucije u znanosti i modernom svijetu.

Dio V "Mnogo lica podataka" bavi se vjerovatnoćom, statistikom, mrežama i obradom podataka - to su još uvijek relativno mlada područja koja generiraju ne uvijek uređeni aspekti našeg života, kao što su prilika i sreća, neizvjesnost, rizik, nestabilnost, slučajnost, međuovisnost. Koristeći pravu matematiku i tipove podataka, možemo naučiti uočavati uzorke u toku slučajnosti.

Na kraju našeg putovanja u dijelu VI "Granice mogućeg" približit ćemo se granicama matematičkog znanja, do graničnog područja između onoga što je već poznato i onoga što je još uvijek neuhvatljivo i nije spoznato. Ponovno ćemo prelaziti po temama već poznatim redoslijedom: brojevi, omjeri, oblici, promjene i beskonačnost - ali istovremeno ćemo dublje razmotriti svaku od njih, u njihovoj modernoj inkarnaciji.

Radost od X

Obilazak matematike, od jednog do beskraja

Objavljeno uz dozvolu Stevena Strogatza, pod brojem Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012. Sva prava pridržana

© Prevod na ruski, izdanje na ruskom, dizajn. LLC "Mann, Ivanov i Ferber", 2014

Sva prava zadržana. Nijedan dio elektroničke verzije ove knjige ne može se reproducirati u bilo kojem obliku ili na bilo koji način, uključujući objavljivanje na Internetu i korporativnim mrežama, za privatnu i javnu upotrebu bez pismenog odobrenja nosioca autorskih prava.

Pravnu podršku izdavačkoj kući pruža advokatska kancelarija "Vegas-Lex"

* * *

Ovu knjigu dobro dopunjuju:

Quanta

Scott Patterson

Mozak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Fleksibilna svijest

Carol Dweck

Fizika berze

James Weatherall

Predgovor

Imam prijatelja koji je, uprkos svom zanatu (on je umjetnik), strastven prema nauci. Kad god se okupimo, on oduševljeno govori o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. Ali čim počnemo razgovarati o matematici, osjeća drhtanje u koljenima, što ga jako uznemirava. Žali se da ti čudni matematički simboli ne samo da ne prkose njegovom razumijevanju, već ponekad ne zna ni kako ih izgovoriti.

U stvari, razlog njegovog odbijanja matematike je mnogo dublji. On nema pojma šta matematičari uopće rade i na što misle kad kažu da je dati dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da jednostavno moram sjesti i početi ga učiti od samog početka, doslovno 1 + 1 \u003d 2, i udubiti se u matematiku koliko god može.

Iako se ova ideja čini ludom, upravo ću to pokušati primijeniti u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane nauke, od aritmetike do napredne matematike, kako bi je oni koji su željeli drugu priliku napokon iskoristili. I ovaj put ne morate sjediti za svojim stolom. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali to će vam pomoći da shvatite šta ova disciplina izučava i zašto je tako uzbudljivo za one koji je razumiju.

Da pojasnimo što mislim pod životom brojeva i njihovim ponašanjem koje ne možemo kontrolirati, vratimo se u hotel Shaggy Paws. Pretpostavimo da je Humphrey upravo trebao predati narudžbu, ali onda su ga pingvini s drugog broja neočekivano nazvali i također zatražili istu količinu ribe. Koliko puta Humphrey mora vikati riječ "riba" nakon što je primio dvije naredbe? Da ne zna ništa o brojevima, morao bi vikati onoliko puta koliko ima pingvina u obje sobe. Ili je, koristeći brojeve, mogao kuharu objasniti da mu za jedan broj treba šest, a za drugi šest riba. Ali ono što mu zaista treba je novi koncept - dodatak. Jednom kada to savlada, ponosno će reći da mu treba šest plus šest (ili, ako je pozer, dvanaest) riba.

Ovo je isti kreativni proces kao kad smo prvi put smislili brojeve. Baš kao što brojevi olakšavaju brojanje nego što ih je moguće navesti jedan po jedan, dodatak olakšava izračunavanje bilo kojeg iznosa. Istovremeno, onaj ko se broji razvija se kao matematičar. Znanstveno se ova misao može formulirati na sljedeći način: upotreba ispravnih apstrakcija dovodi do dubljeg prodiranja u suštinu problema i veće moći u njegovom rješavanju.

Uskoro će možda čak i Humphrey shvatiti da sada uvijek može računati.

Međutim, uprkos tako beskrajnoj perspektivi, naša kreativnost uvijek ima neka ograničenja. Možemo odlučiti što mislimo pod 6 i +, ali kad to učinimo, rezultati izraza poput 6 + 6 su izvan naše kontrole. Ovdje nam logika neće ostaviti izbora. U tom smislu, matematika kao izum uvijek uključuje tako i otkriće: mi mi izmišljamo koncept ali otvaramo njihove posljedice. Kao što će postati jasno u sljedećim poglavljima, u matematici naša sloboda leži u sposobnosti postavljanja pitanja i upornog traženja odgovora na njih, ali bez da smo ih sami izmislili.

2. Kamena aritmetika

Kao i svaki fenomen u životu, aritmetika ima dvije strane: formalnu i zabavnu (ili zaigranu).

Formalni dio smo učili u školi. Objasnili su nam kako se radi sa stupcima brojeva, dodaje i oduzima, kako se lopata vrši prilikom izvršavanja proračuna u proračunskim tablicama prilikom popunjavanja poreskih prijava i pripreme godišnjih izvještaja. Ova strana aritmetike mnogima se čini važnom s praktičnog gledišta, ali potpuno sumornom.

Zabavna strana aritmetike može se naći samo u procesu proučavanja više matematike. {3} ... Međutim, to je prirodno poput dječje radoznalosti. {4}.

U eseju "Lamentacije matematičara" Paul Lockhart predlaže proučavanje brojeva konkretnijim nego uobičajenim primjerima: traži da ih predstavimo u obliku brojnih kamenaca. Na primjer, broj 6 odgovara sljedećem skupu kamenčića:

Ovdje teško da ćete vidjeti nešto neobično. Kakav je. Dok ne počnemo manipulirati brojevima, oni izgledaju približno isto. Igra započinje kad primimo zadatak.

Na primjer, pogledajmo skupove koji imaju 1 do 10 kamena i pokušajmo od njih dodati kvadrate. To se može učiniti samo s dva kompleta od 4 i 9 kamena, jer su 4 \u003d 2 × 2 i 9 \u003d 3 × 3. Te brojeve dobivamo kvadraturiranjem nekog drugog broja (to jest, slaganjem kamenja u kvadrat).

Evo problema s većim brojem rješenja: trebate saznati iz kojih će skupova ispasti pravokutnik ako kamenje rasporedite u dva reda s jednakim brojem elemenata. Ovdje su prikladne garniture od 2, 4, 6, 8 ili 10 kamena; broj mora biti paran. Ako pokušamo rasporediti preostale garniture sa neparnim brojem kamena u dva reda, tada ćemo uvijek imati dodatni kamen.

Ali sve nije izgubljeno zbog ovih neugodnih brojeva! Ako uzmemo dva takva skupa, tada će dodatni elementi pronaći par, a zbroj će ispasti paran: neparan broj + neparan broj \u003d paran broj.

Ako proširimo ova pravila na brojeve nakon 10 i pretpostavimo da broj redaka u pravokutniku može biti veći od dva, tada će neki neparni brojevi omogućiti dodavanje takvih pravokutnika. Na primjer, broj 15 može činiti pravougaonik 3 × 5.

Stoga, iako je 15 nesumnjivo neparan broj, on je kompozitni i može se predstaviti kao tri reda od po pet kamena. Isto tako, bilo koji unos u tablici množenja daje vlastitu pravokutnu grupu kamenčića.

Ali neki brojevi poput 2, 3, 5 i 7 su potpuno beznadni. Iz njih se ne može ništa položiti, osim kako ih rasporediti u obliku jednostavne crte (jedan red). Ove čudne tvrdoglavice su poznate proste.

Tako vidimo da brojevi mogu imati bizarne strukture koje im daju određeni karakter. Ali da bi se prikazao čitav spektar njihovog ponašanja, potrebno je odstupiti od pojedinačnih brojeva i promatrati što se događa tijekom njihove interakcije.

Na primjer, umjesto da dodate samo dva neparna broja, dodajte sve moguće nizove neparnih brojeva, počevši od 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Iznenađujuće, ovi se zbrojevi uvijek pokažu kao savršeni kvadrati. (Već smo rekli da 4 i 9 mogu biti predstavljeni kao kvadrati, ali za 16 \u003d 4 × 4 i 25 \u003d 5 × 5 to je također tačno.) Brza računica pokazuje da ovo pravilo vrijedi i za veće neparne brojeve i očigledno teži ka beskonačnosti. Ali kakva je veza između neparnih brojeva s njihovim "dodatnim" kamenjem i klasično simetričnih brojeva koji tvore kvadrate? Pravilnim postavljanjem šljunka možemo to učiniti očiglednim, što je obilježje gracioznog dokaza. {5}

Ključ za ovo je zapažanje da se neparni brojevi mogu predstaviti kao jednakostranični uglovi, čija uzastopna superpozicija tvori kvadrat!

Slična linija razmišljanja predstavljena je u drugoj nedavno objavljenoj knjizi. Preslatki roman Yoko Ogawa Domaćica i profesor prati oštroumnu, ali neobrazovanu mladu ženu i njenog desetogodišnjeg sina. Angažirana je žena na zbrinjavanju starijeg matematičara koji zbog povrede glave u svom kratkoročnom pamćenju zadržava samo informacije o posljednjih 80 minuta svog života. Izgubljen u sadašnjosti, sam u svojoj bijednoj vikendici, nemajući ništa osim brojeva, profesor pokušava komunicirati s domaćicom na jedini način koji zna: raspitujući se o veličini cipela ili datumu rođenja i razgovarajući s njom o njenim troškovima. Profesor također posebno voli domaćinog sina, kojeg naziva Ruth (Root), jer dječak ima ravnu glavu na vrhu, što ga podsjeća na matematički zapis kvadratnog korijena √.

Jednoga dana profesor postavlja dječaku jednostavan problem - pronaći zbroj svih brojeva od 1 do 10. Nakon što Ruth pažljivo sabere sve brojeve i vrati se s odgovorom (55), profesor ga traži da traži lakši način. Može li naći odgovor bez obično sabiranje brojeva? Ruth udara nogom po stolici i viče: "To nije fer!"

Pomalo, domaćica je također uvučena u svijet brojeva i sama potajno pokušava riješiti ovaj problem. "Ne razumijem zašto sam se toliko zanosio djetinjim problemom, koji nema praktične koristi", kaže ona. „Prvo sam želio ugoditi profesoru, ali postepeno se ova aktivnost pretvorila u bitku između mene i brojeva. Kad sam se ujutro probudio, jednadžba me već čekala:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,