Supraambalarea formulei. Cunoașterea volumului corpului din spatele zonelor secțiunilor transversale. Zona de înfășurare a suprafeței

5. Dimensiunea suprafeței și a ambalajului

Fie curba AB graficul funcției y \u003d f (x) ≥ 0 de x [a; b], iar funcția y \u003d f (x) și її este similară cu y "= f" (x) fără întrerupere a celeilalte ramuri.

Cunoaștem aria suprafeței S, care înfășoară curba AB pe axa Ox (Fig. 8).

Să facem schema II (metoda diferențială).

Printr-un anumit punct x [a; b] desenăm un plan P, perpendicular pe axa Ox. Zona P traversează suprafața învelișului de-a lungul țărușului cu o rază y f (x). Valoarea S a suprafeței părții de înfășurare a figurii, care se află cu mâna stângă în plan, este funcția vederii, tobto. s \u003d s (x) (s (a) \u003d 0 și s (b) \u003d S).

Argumentul Damo x zbіlshennya Δх = dх. Prin punctul x + dx [a; b] desenăm și un plan perpendicular pe axa Ox. Funcția s = s(х) elimină creșterea Δs, care este descrisă ca un lucru mic în fața unei „centri”.

Cunoaștem diferența ariei ds, înlocuind forma dintre tăieturi cu un trunchi de con, care stabilește un fel de dl, iar razele bazelor sunt egale y și y + dу. Zona de suprafață yogo bіchnoї dorіvnyuє: \u003d 2ydl + dydl.

Vіdkidayuchi dobutok dу d1 ca un ordin superior infinit mic, ds inferior, ds = 2уdl, sau altfel, d1 = dx.

Integrarea ecuanimității la granițele din x = a la x = b, este acceptabilă

Deoarece curba AB este dată de aliniamente parametrice x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, atunci formula pentru suprafața învelișului arată ca

S=2 dt.

Cap: Găsiți aria suprafeței cu raza R.

S=2 =

6. Semnificația forței robotice

Robotul forței vicioase

Lăsați punctul material M să se miște de-a lungul axei Ox pіd de dієyu schimbă forța F = F(х), îndreptată paralel cu axa ciєї. Robotul, creat prin forță atunci când punctul M este mutat din poziția x = a în poziția x = b (a

Cum ar trebui robotul să urmeze pașii pentru a întinde arcul cu 0,05 m, astfel încât o forță de 100 N să întindă arcul cu 0,01 m?

În spatele legii lui Hooke, există o forță de arc care întinde arcul, proporțional cu acea întindere x, tobto. F \u003d kx, de k - coeficient de proporție. Conform problemei mentale, forța F = 100 N întinde arcul la x = 0,01 m; otzhe, 100 = k 0,01, stele k = 10000; mai târziu, F = 10000x.

Robot Shukana pe baza formulei

Să cunoască robotul, întrucât este necesar să se vitrateze, să se pompeze peste marginea terenului dintr-un rezervor cilindric vertical de înălțime H m și raza bazei R m (Fig. 13).

Robotul, care este colorat la ridicarea corpului de către capriciu, la înălțimea h, este înălțimea lui N. Alternativ, bilele din mijloc din rezervor sunt situate la adâncimile inferioare și la înălțimea ridicării ( marginea rezervorului) a diferitelor bile nu este aceeași.

Pentru a finaliza sarcina stabilită, proiectăm schema II (metoda diferențială). Introducem un sistem de coordonate.

1) Robotul, care este folosit pentru pomparea din rezervor la minge cu aceeași comuniune x (0 ≤ x ≤ H), є funcție vіd x, tobto. A \u003d A (x), de (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Cunoaștem partea de cap a creșterii ΔA pentru modificarea valorii x Δх = dx, tobto. cunoaştem diferenţa dA a funcţiei A(x).

Privind chestia dx, este important ca bila „elementară” a terenului să fie situată pe aceeași adâncime x (la marginea rezervorului). Todі dА = dрх, de dр - Vaga th ball; vіn dorіvnyuє g AV, de g - o cădere timpurie, - puterea țării natale, dv - obligând mingea „elementară” a țării natale (a fost văzut pe un mic), tobto. dr = g. Obsjag atribuit mingii rіdini, evident, dorіvnyuє, de dx - Înălțimea cilindrului (mingii), - Zona bazei yogo, tobto. dv=.

Otzhe, dр = . i

3) Integrarea egalității otriman la granițele x \u003d 0 la x \u003d H, știm

8. Calculul integralelor pentru pachetul de ajutor MathCAD

La încălcarea unor sarcini aplicate, este necesar să câștigi operația de integrare simbolică. În acest caz, programul MathCad poate fi bun în stadiul de început (este bine să știi dacă este prea târziu, sau știi ce este), deci se află la decizia finală a altei persoane).

Având în vedere numărul mare de sarcini, vă puteți aminti caracteristicile specifice de rezolvare a problemelor pentru programul suplimentar MathCad. Să încercăm să înțelegem pe o serie de puncte, cum să exersăm programul, să analizăm soluția, să o scoatem cu ajutor și să comparăm soluția cu deciziile, să o scoatem în alte moduri.

Principalele probleme legate de utilizarea programelor MathCad sunt legate de atac:

a) programul oferă o imagine de ansamblu asupra funcțiilor elementare vizibile vizual și vizualizarea funcțiilor speciale care sunt departe de a fi cunoscute de toată lumea;

b) în unele cazuri „recomandat” să dea sfaturi, dacă decizia este posibilă;

c) uneori este imposibil să grăbiți rezultatul prin greoaie yogo;

d) respinge sarcina în deplin acord și încearcă să analizeze soluția.

Pentru a depăși aceste probleme, este necesar să depășim punctele forte și punctele slabe ale programului.

Cu ajutor, este ușor și simplu să calculezi integrale în termeni de funcții fracționale-raționale. Pentru care se recomandă să câștigi o modalitate de a înlocui schimbarea, tobto. pregătește dinainte integrala pentru perfecțiune. Pentru cine puteți folosi substații vikoristan_, roz_bran_ mai mult. De asemenea, este necesar să urmăriți selecția zonelor alocate funcției de ieșire a rezultatului selectat. Krym tsgogo, deyakі otrimani decizia va necesita o urmărire suplimentară.

Programul MathCad poate învăța fie ultima zi de lucru de rutină, fie nu poate învăța același tip de analiză suplimentară, atât atunci când stabilește o sarcină, cât și când aruncă o privire asupra rezultatelor.

În această lucrare au fost luate în considerare principalele teze, legate de dezvoltarea completărilor la integrala cântului în cursul matematicii.

– a efectuat o analiză a bazei teoretice pentru rezolvarea integralelor;

- material folosit pentru sistematizare si agravare.

În procesul de absolvire a cursului, sarcinile practice au fost analizate în sala de clasă de fizică, geometrie și mecanică.

Visnovok

Aruncă o privire la sarcini mai practice, pentru a ne oferi o manifestare clară a semnificației integrale a cântării rozvyaznosti lor.

Este important să numim știința falsă, metodele de calcul integral, zagalom, și puterea integralei integrale, zokrema, nu au stagnat în Yakіy. Așadar, în cursul cursului, ne-am uitat la exemplele practice de fizică, geometrie, mecanică, biologie și economie. Evident, aceasta este departe de a fi o listă exhaustivă de științe, ca o metodă integrală de căutare a unei valori stabilite în cazul sarcinilor specifice și stabilirea faptelor teoretice.

Deci integrala cântând este victorioasă pentru dezvoltarea matematicii în sine. De exemplu, în cazul în care diferența virishenny este egală, yakі în linia lui pentru a-și ucide contribuția indispensabilă la sarcina virishennya de zmіstu practic. Se poate spune cu îndrăzneală că integrala este fundamentul circuitului al dezvoltării matematicii. Vedeți importanța cunoașterii metodelor de realizare a acestora.

Pentru tot ce s-a spus, mi-am dat seama de ce cunoașterea integrală a cântecului se află în cadrul școlii gimnaziale de educație globală, care învață cum să înțelegem integrala acelei puteri și faptele acestui raport.

Literatură

1. Volkov E.A. Metode numerice. M., știință, 1988.

2. Piskunov N.S. Numere diferențiale și întregi. M., Integral-Pres, 2004. T. 1.

3. Shipachov V.S. Mare matematică. M., școala Vishcha, 1990.

Mai întâi, accesați formulele pentru zona învelișului de suprafață, pentru o formulă scurtă a învelișului de suprafață în sine. Învelișul de sus sau, ceea ce este același - învelișul superior al corpului - o figură spațioasă, ambalajul este transformat într-un vіdrіzka AB curba pe axa Bou(Figura de mai jos).

Voi dezvălui trapezul curbiliniu, voi înconjura fiara cu curba ghicitoare a curbei. Tіlo, făcut pentru ambalaje tsієї trapezії navko tiєї zh osі Bouși є tіlo înfășurare. Și zona învelișului de suprafață sau suprafața învelișului corpului este întreaga coajă yogo ovnishnya, nu rahuyuchi kіl, utavleny învelișuri pe axa dreaptă X = Aі X = b .

Cu respect, că corpul ambalajului și, evident, suprafața acestuia pot fi realizate astfel încât împachetările figurii să nu fie pe axă. Bou, dar despre axă Oh.

Calculul suprafeței învelișului, dat în coordonate dreptunghiulare

Să mergem la coordonatele dreptunghiulare pe planul plat y = f(X) este dată o curbă, înfășurarea în jurul axei de coordonate are un corp de înfășurare.

Formula pentru calcularea suprafeței învelișului este următoarea:

(1).

exemplu 1. Cunoașteți zona suprafeței paraboloidului acoperită de învelișuri în jurul axei Bou arcuri parabolice care se schimbă X vedere X= 0 la X = A .

Soluţie. Putem vedea clar funcția, pe măsură ce setăm arcul parabolei:

Cunoaștem următoarele funcții:

În primul rând, să accelerăm formula pentru cunoașterea zonei învelișului de suprafață, să scriem acea parte a її pіdіntegralny virase, precum rădăcina și, probabil, există doar pokhіdn cunoscut:

Vidpovіd: dozhina arc strâmb dorіvnyuє

fundul 2. Cunoașteți zona suprafeței care se înfășoară în jurul axei Bou astroidi.

Soluţie. Este suficient să calculați aria suprafeței, care va ieși în învelișul unui ac astroid, ascuns în primul trimestru și să înmulțiți її cu 2. Din egalizarea astroidului, este în mod clar o funcție, deci va trebui să oferim o formulă de cunoaștere Încheierea domeniului de angajament:

Integrare variabilă de la 0 la A:

Calculul suprafeței învelișului, dat parametric

Ne putem uita la panta, dacă curba care stabilește suprafața învelișului este stabilită de egalități parametrice

Aceeași zonă de înfășurare a suprafeței este calculată conform formulei

(2).

exemplu 3. Cunoașteți zona învelișului de suprafață, acoperit cu învelișuri pe axă Oh figură, înconjurată de o cicloidă și o linie dreaptă y = A. Cicloidul este dat de egalități parametrice

Soluţie. Cunoaștem punctul de trecere al unei cicloide și a unei linii drepte. Rivnyuyuchi ryvnyannya tsikloidi acea linie dreaptă y = A, noi stim

De ce vezi ce arată interintegrarea

Acum putem completa formula (2). Să cunoaștem distracția:

Notăm rădăcina virasei în formulă, reprezentând rezultatele cunoscute:

Cunoaștem rădăcina acestui virus:

Să presupunem că am găsit formula (2):

Să facem o înlocuire:

Eu, nareshti, știm

Virușii convertiți au formule trigonometrice diferite

Sugestie: zona de ambalare a suprafeței este bună.

Calculul suprafeței învelișului, dat în coordonate polare

Lăsați curba să se înfășoare în jurul suprafeței, stabilite în coordonate polare.

Deoarece curba este dată de egalități parametrice, atunci suprafețele luate din învelișurile curbei date de-a lungul axei sunt extinse prin formula . Cu ce linii „direct promalovuvannya”, despre ce fel de volum, stilurile de copiere ale articolului, baiduzhe, au fost calomniate. Ale, ca în paragraful din față, important, astfel încât curba a fost ruptă Mai mult axa abscisei este, de asemenea, o funcție, care „seamănă cu grecii”, luăm valori negative și înaintea integralei este posibil să punem un semn minus.

fundul 3

Calculați aria sferei, luată din învelișurile țărușului de pe axă.

Soluţie: din materialele articolului despre suprafața și volumul la stabilirea parametrică a linieiștiți cum să setați alinierea coloanei cu centrul de pe cobul de coordonate de raza 3.

bine si sferă pentru liniște, care a uitat - tse suprafață cooli(in caz contrar suprafața miezului).

Schema de soluții Dotrimuёmos napratsovana. Să cunoaștem distracția:

Să-l lăsăm jos și să spunem doar rădăcina „formula”:

Ce pot să spun, zukerka wiyshla. Aflați despre povnyannya înfăşurare elipsoidală.

Vіdpovіdno la remarcile teoretice, rasglyaєmo vіvkolo superior. Va eșua atunci când se schimbă valoarea parametrului în limite (este ușor să pentru acest interval), în această ordine:

Vidpovid:

Dacă te uiți la problemă, atunci vezi exact formula școlară pentru zona sferei, raza de - її.

Este și mai ușor să începi, a devenit murdar .... Vă propun să corectați un astfel de neajuns =)

fundul 4

Calculați aria suprafeței, luată din învelișurile primului arc al cicloidului de-a lungul axei.

Sarcina este mai creativă. Încercați să învățați sau să ghiciți intuitiv despre formula de calcul al suprafeței, luată din înfășurarea curbei de-a lungul axei y. Eu, evident, ar trebui să atribui din nou prioritatea egalităților parametrice - acestea trebuie rezolvate; nu este necesar să te prosteşti cu cunoştinţele celorlalţi între integrare.

Programul ciclului poate fi vizualizat în lateral Aria și volumul, deoarece linia este setată parametric. Învelișul de sus este neclar... nu știu cu ce să compar... este nepământean - o formă rotunjită cu o mulțime de gropi în mijloc. Axa pentru cicloidul de înfășurare vipadku pe axa asociației din capul mittevo a dormit - o minge lungă pentru gris la rugby.

Soluția este să urmezi exemplul lecției.

Să completăm privirea noastră de cicavia cu mult noroc coordonate polare. Deci, doar privind în jur, de parcă te uiți la asistenții de analiză matematică (Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov, alți autori), poți găsi o duzină bună (sau chiar mult mai multe) aplicații standard, printre care poți găsi nevoia pentru o sarcină.

Cum se calculează aria învelișului de suprafață,
Cum se stabilește linia în sistemele de coordonate polare?

Cum este dată curba în coordonate polare egal, iar funcția poate fi trecută neîntrerupt la acest gol, aria suprafeței, îndepărtată de învelișurile date de curba din apropierea axei polare, este acoperită de formula , de - Kutovі znachennya, scho vіdpovіdat kіntsyam krivoi.

Vіdpovіdno la schimbarea geometrică a sarcinii funcției pіdіntegrale și tse ajunge mai puțin decât mintea (și svіdomo non-negativ). De asemenea, este necesar să se uite la valoarea kuta din interval, astfel încât curba să fie vinovată de roztashovuvatisya Mai mult axa polară și її prodovzhennya. La fel ca Bachite, aceeași poveste, care se află în cele două paragrafe precedente.

fundul 5

Calculați aria suprafeței, acoperită cu împachetări cardio, lângă axa polară.

Soluţie: graficul acestei curbe poate fi văzut în lecția din Anexa 6 sistemul de coordonate polare. Cardioida este simetrică în raport cu axa polară, motiv pentru care putem vedea jumătatea superioară a picioarelor (care, ei bine, este înțelept și, să spunem, mai respectuos).

Deasupra învelișului este un măr.

Tehnica soluției este standard. Să mergem după „fi”:

Să le punem împreună și să spunem rădăcina:

I spodіvayus, іz ieșit din comun formule trigonometrice nimeni nu a fost învinuit pentru dificultăți.

Formula Vikoristovuemo:

Pentru balul de absolvire , mai tarziu: (despre acestea, cum să scapi corect de rădăcină, se pare că m-am ridicat din articol Dovzhina arcului curbei).

Vidpovid:

Aveți această sarcină scurtă pentru o viziune independentă:

fundul 6

Calculați aria centurii sferice,

Ce este o centură de cioturi? Pune pe masa o portocala rotunda de necuratat si ia-o in maini. Zrobіt doi paralel rozrіzu, razdelivshi cym fructe în 3 părți de prevіlnyh rozіrіv. Acum luați mijlocul, într-o seva zemoasă, pulpa este goală din ambele părți. Se numește întregul corp bilă sferică, Și între suprafață (coaja portocalie) - centură de cioturi.

Cititori, știți bine coordonate polare, ușor de imaginat fotoliile capului: linia este așezată aproape de centru la polul razei, în vederea căreia Schimbare vedea menshu arc. Arcul Tsya se înfășoară în jurul axei polare și în așa fel iese centura de cioturi.

Acum puteți, cu conștiința curată, să luați o portocală cu o inimă ușoară, pe această notă savuroasă și, în cele din urmă, ocupat, nu vă da pofta de alte mucuri \u003d)

Soluție și sfat:

Exemplul 2:Soluţie : calculăm aria suprafeței, acoperită cu învelișuri ale gâtului superior de-a lungul axei absciselor. Formula Vikoristovuemo .
În această vedere: ;

În acest mod:

Vidpovid:

Exemplul 4:Soluţie : formula vicoristă . Primul arc al cicloidului este marcat pe vіdrіzka .
Să cunoaștem distracția:

Să le punem împreună și să spunem rădăcina:

În această ordine, zona învelișului de suprafață:

Pentru balul de absolvire la asta

Prima integralăintegrabil prin piese :

Pentru altul, integrarea este victorioasăformula trigonometrică .

Vidpovid:

Exemplul 6:Soluţie : formula victorioasă:

Vidpovid:

Vishcha matematică pentru studenți prin corespondență și nu mai puțin >>>

(Mergeți la pagina principală)

Cum se calculează integrala cântând
în spatele formulei trapezului și al metodei Simpson?

Metode numerice - pentru a completa marea diviziune a matematicienilor și asistenților serioși cu ajutorul celor există sute de laturi. În practică, în roboții de control, se practică în mod tradițional implementarea sarcinilor pentru metode numerice, iar una dintre sarcinile mai largi este calculul mai atent. cântând integrale. În acest articol, voi analiza două metode pentru calculul aproximativ al primei integrale. metoda trapezuluiі metoda lui Simpson.

Ce trebuie să știi pentru a stăpâni aceste metode? Pentru a suna comedie, dar puteți vzagalі nu vmіti frați integrati. I navit vzagali nu înțeleg ce au integrat. Din motive tehnice, va fi nevoie de un microcalculator. Ei bine, suntem verificați pentru rosrahunka de liceu de rutină. Și chiar mai scurt - descărcați-mi calculator automat pentru metoda trapezului și metoda Simpson. Calculator de ortografie în Excel și permiteți de zeci de ori modificarea orei de finalizare și a execuției sarcinii. Este adăugat un manual video pentru ceainicele Excel! Înainte de discurs, prima înregistrare video este în vocea mea.

Să punem mâncare pe spate, dar cum rămâne cu nevoia de facturare în apropiere? Este posibil să cunoști funcția primară și să câștigi formula Newton-Leibniz calculând valoarea exactă a integralei. Ca o reamintire a mâncării, se poate vedea un fund demonstrativ de la unul mic.

Calculați prima integrală

Totul ar fi bine, dar în acest caz, integrala nu este luată - în fața ta nu este luată, deci titluri logaritm integral. Și care este scopul acestei integrale? Poate fi văzut pe graficul fotoliului al funcției integrand:

Totul e bine. Funcția integrală neîntreruptă pe vіdrіzku care cântă іntegrа numeric аrіvnіuє zona de umbrire. Această axă este doar o problemă - integrala nu este luată. Eu in situatii similare vin in ajutorul metodelor numerice. Cu această sarcină, există două formule:

1) Calculați prima integrală aproximativ , rotunjind rezultatul la următorul semn după Komi. De exemplu, până la două semne după Komi, până la trei semne după Komi toshcho. Să presupunem că s-a apropiat turnul de 5.347. Vinul adevărat poate să nu fie adevărat (de fapt, să spunem, răspunsul exact este 5.343). Sarcina noastră prinde contur mai putin in asta pentru a rotunji rezultatul la trei zecimale după Komi.

2) Calculați prima integrală aproximativ, cu precizie de cântare. De exemplu, calculați prima integrală aproximativ exact la 0,001. Ce înseamnă? Tse înseamnă că a fost luat mai aproape de 5.347, atunci toate cifrele nu pot fi decât concrete corect. Pentru a fi mai precis, se pare că diferența 5,347 este vinovată de adevărul modulo (în aceeași ordine) cu nu mai mult de 0,001 mai mică.

Stabiliți o copie a principalelor metode pentru calculul aproximativ al integralei sing, care este utilizată în sarcinile:

Metoda dreptunghiului. Vіdrіzok іntegrіvannya razbіvієє іlka і єtіnі і dієєєєєє stupіn'chastа stаt ( histogramă), iac dincolo de zonă este aproape de zona lui Shukano:

Chi nu este judecat strict pentru fotoliu, acuratețea nu este ideală - duhoarea nu ajută la înțelegerea esenței metodelor.

Pentru acest butt, a fost efectuată o împărțire a integrării în trei foraje:
. Evident, de cele mai multe ori (mai multe alte vânturi intermediare), mai multă precizie. Metoda dreptunghiurilor oferă o aproximare aproximativă a zonei, poate, este rar folosită în practică (după ce am ghicit cel puțin un cap practic). Nu pot vedea metoda liniilor drepte și nu voi aduce o formulă simplă. Nu celui care mut, ci prin principiul avocatului meu: ceea ce se vede rar în sarcinile practice, atunci nu se vede.

Metoda trapezului. Ideea este asemănătoare. Integritatea se descompune într-o stropire de vânturi intermediare și graficul funcției integrand se apropie lamanoi linia:

În acest rang, zona noastră (umbrire albastră) este abordată de suma ariei trapezului (culoare roșie). Denumiți metoda. Este ușor de observat că metoda trapezelor oferă o aproximare mult mai bună decât metoda dreptunghiurilor (cu același număr de tăieturi). Eu, firesc, putem privi mai multe alte vânturi industriale, mai precise. Metoda trapezului este uneori folosită în sarcini practice, iar în acest articol va fi selectat o serie de aplicații.

Metoda lui Simpson (metoda parabolelor). Cel mai bun mod - graficul funcției integrand este abordat nu printr-o linie laman, ci prin diferite parabole. Skill-urile morilor de vânt intermediare sunt abilitățile micilor parabole. Dacă luați singur trei înfășurări, atunci metoda Simpson vă va oferi o aproximare mai precisă, reduceți metoda rectocut sau metoda trapezului.

Fotoliul nu va fi o senzație, cioburile de proximitate vizuală vor fi suprapuse pe graficul funcției (linia laman a paragrafului din față - și asta este practic zbіglasya).

Sarcina de calculare a integralei sing conform formulei Simpson este cea mai populară sarcină în practică. Metodei parabolelor i se va acorda un respect semnificativ.

Lăsați spațiul să stabilească corpul. Permiteți-mi să vă încurajez să tăiați planurile perpendiculare pe axă, care vor trece prin punctele x
pe nіy. Zona figurii care se stabilește în perimetru, se întinde în punct X, Ce determină aria secțiunii transversale? funcţie. Todi volumul părții corpului, care este situat între apartamente x = aі x = in calculează prin formulă

fundul. Să cunoaștem volumul corpului franjat, așezat între cilindrul de suprafață de rază:, planul orizontal și planul fragil z = 2y și corpul înclinat al planului orizontal.

Evident, ce corp, ce este privit, este proiectat din toate părțile
, și
secțiune transversală a corpului cu o tăietură dreaptă cu catetere y і z \u003d 2y, unde y poate fi tăiat prin x de la alinierea cilindrului:

Aria S(x) a secțiunii transversale este următoarea:

Formula Zastosovuyuchi, știm volumul corpului:

Calculul obsyagiv până la împachetare

Haide vіdrіzku[ A, b] funcția fără întrerupere este setată y= f(X). Acoperiți corpul ambalajului, puneți învelișuri în jurul axei Oh(in caz contrar OU) trapez curbiliniu, circumscris unei curbe y= f(X) (f(X) 0) și drept y=0, x=a, x=b, se calculează după formulele:

, ( 19)

(20)

Yakshto tіlo utvoryuetsya atunci când se înfășoară în jurul axei OU trapez curbiliniu, circumscris unei curbe
aia drept X=0, y= c, y= d, atunci volumul de ambalare corporală este mai scump

. (21)

fundul. Calculați volumul corpului, luat din învelișul figurii, înconjurat de linii în jurul axei Oh.

Conform formulei (19) costul necesar

fundul. Apropiindu-vă de pătratul xOy, linia y=cosx se vede pe vânt .

E acea linie se înfășoară în jurul spațiului deschis din jurul axei, iar suprafața ambalajului este tăiată, înglobând corpul ambalajului (div. Fig.). Știm despre corpul de ambalare.

Zgidno cu formula, otrimuemo:

Zona de înfășurare a suprafeței

,
, înfășurată în jurul axei Ox, aria suprafeței învelișului este calculată conform formulei
, de Aі b- abscisă pe cob și capătul arcului.

Dacă arcul este curbat, este dat de o funcție invizibilă
,
, înfășurată în jurul axei Oy, aria suprafeței învelișului este calculată conform formulei

de h i d - abscisele spadicelui și capătul arcului.

Dacă arcul curbei este definit aliniamente parametrice
,
, în plus
, Acea

Cum este definit arcul în coordonate polare
, Acea

fundul. Să calculăm aria suprafeței, acoperită cu învelișuri în spațiu, pe axa părții liniei y = , roztashovana peste vіdrіzkomosі.

deci iac
, atunci formula ne dă integrala

În integrala rămasă, modificați t=x+(1/2) și luați:

În prima parte a integrării părții drepte, putem schimba z=t 2 -:

Pentru a calcula cealaltă parte a integralelor părții drepte, este semnificativ și integrabil prin părți, luând egal pentru:

Transferul în partea stângă și trecerea la 2, e ok

stele, nareshti,

Adăugări ale cântului, parte integrantă a realizării celor mai noi lideri ai mecanicii și fizicii

Robotul forței vicioase. Să ne uităm la punctele materiale ale axei vzdovzh BOU sub influența forței schimbătoare f, cum se depune în poziția punctului X pe ax, tobto. forțează această funcție X. Robot Todi A, necesar pentru deplasarea unui punct material din poziție X = A la pozitie X = b se calculează după următoarea formulă:

Pentru facturare puterea mâinii vikoristovuyut legea lui Pascal, zgіdno z yakim vice rіdini pe maidanchik dorivnyuє її ploschі. S, înmulțit cu noroiul h, pentru putere ρ acea forță accelerată a gravitației g, apoi.

1. Momentul și masa centrică a curbelor plane. La fel, arcul curbei este dat de egalitățile y=f(x), a≤x≤b, maximul
, Acea momente statice tsієї arce M x і M y

;

momente de inerție I X i I y

A centru de coordonate mas і - pentru formule

de l masa of the arc, tobto.

fundul 1. Cunoașteți momentele statice și momentele de inerție despre axele Ox și Oy ale arcului dreptei lancetei y=chx la 0≤x≤1.

Chiar dacă lățimea nu este specificată, se transmite că curba este uniformă
. Maemo: De acum înainte,

fundul 2. Aflați coordonatele centrului arcului de masă al mizei x=acost, y=asint, care se află în primul trimestru. Maemo:

Vă rugăm să rețineți:

În anexe apar adesea ca un picior maro Teorema gulden. Zona suprafeței, înfășurată în jurul arcului cu o curbă plată pe axă, care se află în apropierea planului arcului și nu se suprapune, arcul dobutku dobutku dozhini pe miza dozhina, care este descris de centrul masei .

exemplu 3. Găsiți coordonatele centrului de masă pіvkol

Ca urmare a simetriei
. Când înfășurați pіvkola pe axa Ox, apare o sferă, zona suprafeței este la fel de sănătoasă, iar dovzhina pіvcola este sănătoasă. În spatele teoremei lui Gulden, poate 4

Zvіdsi
, apoi. centru mas C max coordonate C
.

2. Sarcini fizice. Zilele de zastosuvannia integrală a cântării la ora îndeplinirii sarcinilor fizice sunt ilustrate mai jos la cap.

fundul 4. Viteza mișcării rectilinie a corpului este exprimată prin formula (m/s). Cunoașteți drumul, trecând corpul în 5 secunde prin cob.

deci iac drum, trecând pe lângă corp zі swidkіstyu v(t) pentru vіdrіzok ora , care este exprimată prin integrală

atunci poate:

P
exemplu.Știm aria zonei mărginite, care se află între linie și linia y = x 3 -x. Oskilki

linia este încurcată în trei puncte: x 1 = -1, x 2 = 0, x 3 = 1.

Zona dintre linie și întreaga zonă este împrejmuită și proiectată pe un paravan
,în plus, pe vіdіzku
,linia y \u003d x 3-x - Inferior. Acea zonă a regiunii poate fi îmbunătățită după cum urmează:

P
exemplu. Cunoaștem zona regiunii așezată între prima și celelalte spire ale spiralei lui Arhimede = a (a>0) de cealaltă parte a axei orizontale
.

Prima rotire a spiralei schimbă tăietura în limite de la 0 la, iar cealaltă - de la. Pentru a schimba argumentul până la un gol, notăm alinierea unei alte ture a spiralei la vedere
,

. Zona Todi poate fi cunoscută pentru formula, având pus
і
: