Toate laturile sunt într-un paralelogram. Definiția unui paralelogram și proprietățile acestuia. Un paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt egale

În această secțiune, ne uităm la paralelogramul obiectului geometric. Toate elementele paralelogramului sunt moștenite din patrulater, deci nu le vom lua în considerare. Dar proprietățile și caracteristicile merită o analiză detaliată. Vom analiza:

modul în care caracteristica diferă de proprietate;
ia în considerare principalele proprietăți și semne studiate în programul clasei a VIII-a;
Să formulăm încă două proprietăți suplimentare pe care le obținem atunci când rezolvăm probleme de suport.

2.1 Definiția unui paralelogram

Pentru a defini corect conceptele în geometrie, nu trebuie doar să le memorezi, ci să înțelegi cum sunt formate. Schemele de concepte generice ne ajută bine în această chestiune. Să vedem ce este.

Modulul nostru de instruire se numește „Cadrangule”, iar patrulaterul este concept cheieîn acest curs. Putem da următoarea definiție unui patrulater:

Patrulater-Acest poligon, care are patru laturi și patru vârfuri.

În această definiție, termenul generic este poligon. Acum să definim un poligon:

Poligon numit un simplu închis linie frântăîmpreună cu partea planului pe care o limitează.

Este clar că conceptul generic de aici este conceptul de linie întreruptă. Dacă mergem mai departe, ajungem la conceptul de segment și apoi la conceptele finale de punct și linie dreaptă. În același mod, putem continua schema noastră în jos:

Dacă avem nevoie ca patrulaterul să aibă două laturi paralele, iar două să nu fie, atunci vom obține o formă numită trapez.

Trapez – patrulater, în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele.

Și în cazul în care toate laturile opuse sunt paralele, avem de-a face cu un paralelogram.

Paralelogram – patrulater, în care laturile opuse sunt paralele.

2.2 Proprietățile unui paralelogram

Proprietatea 1.Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale, iar unghiurile opuse sunt egale.

Să dovedim această proprietate.

Dat: ABCD este un paralelogram.

Dovedi:$ \ angle A = \ unghi C, \ unghi B = \ unghi D, AB = CD, AD = BC. $

Dovadă:

Când dovedim proprietățile oricărui obiect geometric, ne amintim întotdeauna definiția acestuia. Asa de, paralelogram- un patrulater cu laturile opuse paralele. Punctul cheie aici este paralelismul laturilor.

Să construim o secantă pentru toate cele patru linii drepte. Diagonala BD va fi atât de secantă.

Evident, trebuie să luați în considerare unghiurile formate de liniile secante și paralele. Deoarece liniile drepte sunt paralele, unghiurile situate transversal sunt egale.

Acum puteți vedea două triunghiuri egale conform celei de-a doua caracteristici.

Prima proprietate a unui paralelogram rezultă direct din egalitatea triunghiurilor.

Proprietatea 2. Diagonalele paralelogramului sunt înjumătățite de punctul de intersecție.

Dat: ABCD- paralelogram.

Dovedi:$ AO = OC, BO = OD. $

Dovadă:

Logica demonstrației este aceeași ca în proprietatea anterioară: paralelismul laturilor și egalitatea triunghiurilor. Primul pas al dovezii este același ca și pentru prima proprietate.

În al doilea pas, demonstrăm egalitatea triunghiurilor prin al doilea criteriu. Rețineți că egalitatea $ BC = AD $ poate fi acceptată fără dovadă (folosind Proprietatea 1).

Această egalitate implică faptul că $ AO = OC, BO = OD. $

2.3 Problema de referință nr. 4 (Proprietatea unghiului dintre înălțimile paralelogramului)

Dat: ABCD - paralelogram, BK și BM - înălțimea sa, $ \ angle KBM = 60 ^ 0 $.

A găsi:$ \ angle ABK $, $ \ angle A $

Soluţie: Când începeți să rezolvați această problemă, trebuie să aveți în vedere următoarele:

înălțime în paralelogram perpendicular pe ambele părți opuse

De exemplu, dacă segmentul $ BM $ este tras la partea $ DC $ și este înălțimea sa ($ BM \ perp DC $), atunci același segment va fi înălțimea față de partea opusă ($ BM \ perp BA $) . Acest lucru rezultă din paralelismul laturilor lui $ AB \ parallel DC $.

Când rezolvăm această problemă, proprietatea pe care o obținem este valoroasă.

Proprietate suplimentară. Unghiul dintre înălțimile paralelogramului trasat din vârful său este egal cu unghiul de la vârful adiacent.

2.4 Problema de referință nr. 5 (Proprietatea bisectoarei unui paralelogram)

Bisectoare unghiulare DAR paralelogram ABCD traversează lateral Î.Hr. la punct L, AD = 12 cm, AB = 10cm... Găsiți lungimea unui segment de linie LC.

Soluţie:

$ \ angle 1 = \ unghi 2 $ (AK - bisectoare);
$ \ angle 2 = \ unghi 3 $ (ca unghiuri încrucișate pentru $ AD \ paralel BC $ și secant АL);
$ \ angle 1 = \ unghi 3 $, $ \ bigtriangleup ABL - $ isosceles.

În timpul rezolvării problemei, am obținut proprietatea:

Proprietate suplimentară. Bisectoarea unui unghi de paralelogram taie din acesta un triunghi isoscel.

Instituție de învățământ bugetar municipal

Școala secundară Savinskaya

Muncă de cercetare

Paralelograma și noile sale proprietăți

Finalizat: elev de clasa 8B

Școala secundară MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 ani

Supervizor: profesor de matematică

Tulchevskaya N.A.

p. Savino

Regiunea Ivanovo, Rusia

2016

I. Introducere ________________________________________________ pagina 3

II. Din istoria paralelogramului ___________________________________ pagina 4

III Proprietăți suplimentare ale unui paralelogram ______________________ pagina 4

IV. Dovada proprietăților _____________________________________ pagina 5

V. Rezolvarea problemelor folosind proprietăți suplimentare __________ pagina 8

Vi. Aplicarea proprietăților paralelogramului în viața reală ___________________ pagina 11

Vii. Concluzie _________________________________________________ pagina 12

VIII. Literatură _________________________________________________ pagina 13

Introducere

"Printre minți egale

la asemănarea altor condiții

depășește pe cel care cunoaște geometria "

(Blaise Pascal).

În timp ce studiam tema „Paralelogramă” în lecțiile de geometrie, am luat în considerare două proprietăți ale unui paralelogram și trei trăsături, dar când am început să rezolvăm probleme, s-a dovedit că acest lucru nu era suficient.

Am o întrebare, dar are paralelogramul mai multe proprietăți și cum vor ajuta la rezolvarea problemelor.

Și am decis să studiez proprietățile suplimentare ale paralelogramului și să arăt cum pot fi aplicate pentru rezolvarea problemelor.

Subiect de studiu : paralelogram

Obiect de studiu : proprietăți paralelogram
Scopul muncii:

formularea și dovada proprietăților suplimentare ale unui paralelogram care nu sunt studiate la școală;

aplicarea acestor proprietăți la rezolvarea problemelor.

Sarcini:

Studiați istoria originii paralelogramului și istoria dezvoltării proprietăților sale;

Găsiți literatură suplimentară cu privire la problema studiată;

Studiați proprietățile suplimentare ale paralelogramului și demonstrați-le;

Arătați utilizarea acestor proprietăți pentru rezolvarea problemelor;

Luați în considerare aplicarea proprietăților paralelogramului în viață.
Metode de cercetare:

Lucrați cu literatură științifică educațională și populară, resurse Internet;

Studiul materialului teoretic;

Selectarea unei game de sarcini care pot fi rezolvate folosind proprietăți suplimentare ale paralelogramului;

Observare, comparație, analiză, analogie.

Durata studiului : 3 luni: ianuarie-martie 2016

Într-un manual de geometrie, citim următoarea definiție a paralelogramului: un paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt paralele în perechi

Cuvântul „paralelogram” este tradus prin „linii paralele” (din cuvintele grecești Parallelos - paralel și gramme - linie), acest termen a fost introdus de Euclid. În cartea sa „Începuturi”, Euclid a demonstrat următoarele proprietăți ale unui paralelogram: laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale, iar diagonala îl împarte în jumătate. Euclid nu menționează punctul de intersecție al paralelogramului. Abia până la sfârșitul Evului Mediu s-a dezvoltat teoria completă a paralelogramelor și abia în secolul al XVII-lea au apărut teoremele asupra paralelogramelor în manuale, care sunt dovedite folosind teorema lui Euclid asupra proprietăților unui paralelogram.

III Proprietăți suplimentare de paralelogram

În manualul de geometrie, sunt date doar 2 proprietăți ale paralelogramului:

Unghiurile opuse și laturile sunt egale

Diagonalele paralelogramului se intersectează, iar punctul de intersecție este înjumătățit

În diverse surse de geometrie, puteți găsi următoarele proprietăți suplimentare:

Suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este 180 0

Bisectoarea unui unghi de paralelogram taie un triunghi isoscel din acesta;

Bisectoarele unghiurilor opuse ale unui paralelogram se află pe linii drepte paralele;

Bisectoarele colțurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept;

Bisectoarele tuturor unghiurilor paralelogramului formează un dreptunghi atunci când se intersectează;

Distanțele de la colțurile opuse ale unui paralelogram la aceeași diagonală sunt egale.

Dacă într-un paralelogram conectați vârfurile opuse cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu dublul sumei pătratelor laturilor sale adiacente.

Dacă desenezi înălțimi într-un paralelogram din două colțuri opuse, obții un dreptunghi.

IV Dovada proprietăților unui paralelogram

Suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este de 180 0

Dat:

ABCD - paralelogram

Dovedi:

A +
B =

Dovadă:

Și
B - colțuri interioare unilaterale cu BC paralele drepte AD și secant AB, ceea ce înseamnă
A +
B =

Dat: ABCD - paralelogram,

Bisectoare AK
DAR.

Dovedi: AVK - isoscel

Dovadă:

1)
1=
3 (întins transversal la soare AD și secant AK),

2)
2=
3 t. Către. AK - bisectoare,

înseamnă 1 =
2.

3) AVK - isoscel pentru că 2 unghiuri ale unui triunghi sunt egale

... Bisectoarea unghiului unui paralelogram taie un triunghi isoscel din acesta

Dat: ABCD - paralelogram,

AK - bisectoare A,

CP - bisectoare C.

Dovedi: AK ║ SR

Dovadă:

1) 1 = 2 din bisectoarea AK

2) 4 = 5 deoarece CP - bisectoare

3) 3 = 1 (unghiuri de încrucișare la

ВС ║ АD și AK-secant),

4) A = C (prin proprietatea unui paralelogram), deci 2 = 3 = 4 = 5.

4) Din itemii 3 și 4 rezultă că 1 = 4, iar aceste unghiuri corespund liniilor drepte AK și CP și secante BC,

prin urmare, AK ║ СР (după criteriul paralelismului de linii)

... Bisectoarele unghiurilor opuse ale unui paralelogram se află pe linii drepte paralele

Bisectoarele colțurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept

Dat: ABCD - paralelogram,

Bisectoare A A,

DP-bisectoare D

Dovedi: DP AK.

Dovadă:

1) 1 = 2, deoarece AK - bisectoare

Fie, 1 = 2 = x, apoi A = 2x,

2) 3 = 4, deoarece D Р - bisectoare

Fie, 3 = 4 = y, apoi D = 2y

3) A + D = 180 0, deoarece suma unghiurilor adiacente ale unui paralelogram este de 180

2) Luați în considerare A ОD

1 + 3 = 90 0, apoi
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Bisectoarele tuturor unghiurilor paralelogramului la traversare formează un dreptunghi

Dat: ABCD - paralelogram, bisectoare A,

DP-bisectoare D,

CM este bisectoarea C,

Bisectoare BF B.

Dovedi: KRNS-dreptunghi

Dovadă:

Pe baza proprietății anterioare 8 = 7 = 6 = 5 = 90 0,

înseamnă KRNS-dreptunghi.

Distanțele de la colțurile opuse ale unui paralelogram la aceeași diagonală sunt egale.

Dat: ABCD-paralelogram, AC-diagonală.

VK AC, DP AC

Dovedi: BK = DP

Dovadă: 1) DCР = КAB, ca încrucișare internă la AB ║ CD și secant AC.

2) AКB = CDP (de-a lungul laturii și a două colțuri adiacente AB = CD CD P = AB K).

Și în triunghiuri egale, laturile corespunzătoare sunt egale, ceea ce înseamnă DP = BK.

Dacă într-un paralelogram conectați vârfurile opuse cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

Dat: ABCD-paralelogram.

Dovedi: VKDР - paralelogram.

Dovadă:

1) BP = KD (AD = BC, punctele K și P

împarte aceste părți în jumătate)

2) ВР ║ КD (stați pe АD BC)

Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt egale și paralele, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dacă desenezi înălțimi într-un paralelogram din două colțuri opuse, obții un dreptunghi.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu dublul sumei pătratelor laturilor sale adiacente.

Dat: ABCD este un paralelogram. BD și AC sunt diagonale.

Dovedi: LA FEL DE 2 + ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

Dovadă: 1)CERE: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (de teorema lui Pitagora)

3) AC ²+ BD ² = SK² +A K² +B Р + РD ²

4) SK = BP = N(înălţime )

5) AC 2 + BD 2 = H 2 + A LA 2 + H 2 + PD 2

6) Lasa D K =A P = x, apoi C LAD : H 2 = CD 2 - NS 2 de teorema lui Pitagora )

7) AC² + BD ² = CD 2 - х2 + AK 1 ²+ CD 2 -NS 2 + PD 2 ,

AC² + BD ² = 2CD 2 -2x 2 + A LA 2 + PD 2

8) A LA= AD + NS, RD = AD- NS,

AC² + BD ² = 2CD 2 -2x 2 +(ANUNȚ + x) 2 +(ANUNȚ -NS) 2 ,

LA FEL DE²+ ÎND² = 2 CUD²-2 NS² + AD 2 + 2AD NS+ NS 2 + AD 2 -2AD NS+ NS 2 ,
LA FEL DE²+ ÎND² = 2CD 2 + 2AD 2 = 2 (CD 2 + AD 2 ).

V ... Rezolvarea problemelor folosind aceste proprietăți

Punctul de intersecție al bisectoarelor a două unghiuri ale unui paralelogram adiacent unei laturi aparține laturii opuse. Partea mai mică a paralelogramului este 5 ... Găsiți partea cea mai mare a acestuia.

Dat: ABCD - paralelogram,

AK - bisectoare
DAR,

D K - bisectoare
D, AB = 5

A găsi: Soare

soluţie

Soluţie

pentru că AK - bisectoare
Și atunci AVK este isoscel.

pentru că D K - bisectoare
D atunci DCK - isoscel

DC = C K = 5

Apoi, BC = VK + SK = 5 + 5 = 10

Răspuns: 10

2. Găsiți perimetrul paralelogramului dacă bisectoarea unuia dintre colțurile sale împarte latura paralelogramului în segmente de 7 cm și 14 cm.

1 caz

Dat:
DAR,

VK = 14 cm, KS = 7 cm

A găsi: P paralelogram

Soluţie

VS = VK + KS = 14 + 7 = 21 (cm)

pentru că AK - bisectoare
Și atunci AVK este isoscel.

AB = VK = 14 cm

Atunci P = 2 (14 + 21) = 70 (cm)

se întâmplă

Dat: ABCD - paralelogram,

D K - bisectoare
D,

VK = 14 cm, KS = 7 cm

A găsi: P paralelogram

Soluţie

VS = VK + KS = 14 + 7 = 21 (cm)

pentru că D K - bisectoare
D atunci DCK - isoscel

DC = C K = 7

Apoi, P = 2 (21 + 7) = 56 (cm)

Răspuns: 70cm sau 56cm

3. Laturile paralelogramului sunt de 10 cm și 3 cm. Bisectoarele celor două colțuri adiacente laturii mai mari împart partea opusă în trei segmente. Găsiți aceste linii.

1 caz: bisectoarele se intersectează în afara paralelogramului

Dat: ABCD - paralelogram, AK - bisectoare
DAR,

D K - bisectoare
D, AB = 3 cm, BC = 10 cm

A găsi: BM, MN, NC

Soluţie

pentru că AM - bisectoare
A, atunci AVM este isoscel.

pentru că DN - bisectoare
D atunci DCN - isoscel

DC = CN = 3

Apoi, МN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 + 3) = 4 cm

2 caz: bisectoarele se intersectează în interiorul paralelogramului

pentru că AN - bisectoare
A, atunci ABN este isoscel.

AB = BN = 3 D

Și rețeaua glisantă ar trebui mutată la distanța necesară în ușă

Mecanism paralelogram- un mecanism cu patru legături, ale cărui legături alcătuiesc un paralelogram. Este utilizat pentru implementarea mișcării de translație prin mecanisme articulate.

Paralelogram de legătură fix- o verigă este nemișcată, cea opusă face o mișcare oscilantă, rămânând paralelă cu cea nemișcată. Două paralelograme conectate una după alta dau legăturii finale două grade de libertate, lăsând-o paralelă cu cea nemiscată.

Exemple: ștergătoare de autobuze, stivuitoare, trepiede, umerașe, suspensii auto.

Paralelogramă cu articulație fixă- proprietatea unui paralelogram este utilizată pentru a menține un raport constant de distanțe între trei puncte. Exemplu: un pantograf de desen este un dispozitiv pentru scalarea desenelor.

Romb- toate legăturile au aceeași lungime, apropierea (contracția) unei perechi de balamale opuse duce la extinderea celorlalte două balamale. Toate linkurile funcționează în compresie.

Exemple sunt un cric în formă de diamant al automobilului, un pantograf de tramvai.

Foarfeca sau Mecanism în formă de X, de asemenea cunoscut ca si Foarfece de la Nürnberg- versiunea romb - două verigi conectate la mijloc printr-o balama. Avantajele mecanismului sunt compactitatea și simplitatea, dezavantajul este prezența a două perechi glisante. Două (sau mai multe) astfel de mecanisme, conectate în serie, formează un romb în mijloc. Se folosește în ascensoare, jucării pentru copii.

Vii Concluzie

Cine s-a angajat în matematică încă din copilărie,

el dezvoltă atenția, își antrenează creierul,

voia sa, stimulează perseverența

și perseverență în atingerea obiectivului

A. Markushevich

Pe parcursul muncii mele, am dovedit proprietăți suplimentare ale paralelogramului.

Am devenit convins că folosind aceste proprietăți, puteți rezolva problemele mai repede.

Am arătat cum se aplică aceste proprietăți folosind exemple de rezolvare a unor probleme specifice.

Am învățat multe despre paralelogram, care nu se află în manualul nostru de geometrie.

Am devenit convins că cunoașterea geometriei este foarte importantă în viață prin exemple de utilizare a proprietăților paralelogramelor.

Scopul lucrării mele de cercetare a fost atins.

Cât de importante sunt cunoștințele matematice, este dovedit de faptul că a fost stabilit un premiu pentru cel care publică o carte despre un om care și-a trăit întreaga viață fără ajutorul matematicii. Acest premiu nu a fost primit încă de nicio persoană.

VIII Literatură

Când rezolvați probleme pe această temă, pe lângă proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:

Bisectoarea unghiului interior al unui paralelogram taie un triunghi isoscel din acesta
Bisectoarele unghiurilor interioare adiacente uneia dintre laturile paralelogramului sunt reciproc perpendiculare
Bisectoarele care ies din colțurile interioare opuse ale paralelogramului sunt paralele una cu cealaltă sau se află pe o linie dreaptă
Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
Zona paralelogramului este jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele

Să luăm în considerare sarcinile în soluția pentru care sunt utilizate aceste proprietăți.

Obiectivul 1.

Bisectoarea unghiului C al paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și continuarea laturii AB dincolo de punctul A din punctul E. Găsiți perimetrul paralelogramului dacă AE = 4, DМ = 3.

Soluţie.

1. Triunghiul CMD este isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.

2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetrul ABCD = 20 cm.

Răspuns. 20 cm.

Obiectivul 2.

Diagonalele sunt trasate în patrulaterul convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Dovediți că patrulaterul dat este un paralelogram.

Soluţie.

1. Fie BE - înălțimea triunghiului ABD, CF - înălțimea triunghiului ACD. Deoarece, în funcție de starea problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună AD, înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.

2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte a liniei AD. BE = CF. Prin urmare, linia dreaptă ВС || ANUNȚ. (*)

3. Fie АL înălțimea triunghiului АСD, BK - înălțimea triunghiului BCD. Deoarece, în funcție de starea problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.

4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte a liniei drepte CD. AL = BK. În consecință, linia dreaptă AB || CD (**)

5. Din condițiile (*), (**) urmează - paralelogram ABCD.

Răspuns. Dovedit. ABCD - paralelogram.

Obiectivul 3.

Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD, punctele M și H sunt marcate, astfel încât segmentele BM și HD se intersectează în punctul O;<ВМD = 95 о,

Soluţie.

1. În triunghi DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Într-un triunghi unghiular DHC
(
Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Deoarece într-un triunghi unghiular piciorul, care se află opus unui unghi de 30 °, este egal cu jumătate din hipotenuză).

Dar CD = AB. Apoi AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
Răspuns: AB: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Sarcina 4.

Una dintre diagonalele paralelogramului, lungă de 4√6, face un unghi de 60 ° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45 ° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală.

Soluţie.

1. AO = 2√6.

2. Aplicăm teorema sinusurilor triunghiului AOD.

AO / sin D = OD / sin A.

2√6 / sin 45 о = OD / sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6.

Răspuns: 12.

Sarcina 5.

Un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2 are un unghi mai mic între diagonale egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Găsiți suma lungimilor diagonalelor.

Soluţie.

Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului este egal cu φ.

1. Să numărăm două diferite
căi ale zonei sale.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin φ,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AОВ = 1/2 d 1 d 2 sin ф.

Obținem egalitatea 5√2 7√2 sin φ = 1 / 2d 1 d 2 sin φ sau

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Folosind raportul dintre laturi și diagonalele paralelogramului, scriem egalitatea

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Să alcătuim sistemul:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Înmulțim a doua ecuație a sistemului cu 2 și o adăugăm la prima.

Obținem (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare Id 1 + d 2 I = 24.

Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24.

Răspuns: 24.

Sarcina 6.

Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul acut dintre diagonale este de 45 °. Găsiți zona paralelogramului.

Soluţie.

1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonalele.

AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2 / 2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. În mod similar, notăm relația pentru triunghiul AOD.

Să ținem cont de asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Avem un sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 d 2 √2 = 80 sau

d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2

4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10.

Notă:În această problemă și în problema anterioară, nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, prevăzând că în această problemă, pentru a calcula aria, avem nevoie de produsul diagonalelor.

Răspuns: 10.

Sarcina 7.

Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Găsiți pătratul diagonalei mai mici.

Soluţie.

1.S ABCD = AB · AD · sin BAD. Să facem o substituție în formulă.

Obținem 96 = 8 15 fără RĂU. Prin urmare, păcatul ВAD = 4/5.

2. Găsiți cos BAD. sin 2 BAD + cos 2 BAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 BAD = 9/25.

Conform afirmației problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este ascuțit. Atunci cos BAD = 3/5.

3. Din triunghiul ABD de teorema cosinusului găsim pătratul diagonalei BD.

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 · AB · BD · cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145.

Răspuns: 145.

Mai aveți întrebări? Nu sunteți sigur cum să rezolvați o problemă geometrică?
Pentru a obține ajutor de la un tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Definiție

Paralelogram se numește patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi.

Punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului se numește centru.

Proprietăți paralelogramă:

Suma oricăror două unghiuri paralelogram adiacente este $ 180 ^ (\ circ) $, iar unghiurile opuse sunt egale.

Laturile opuse ale paralelogramului sunt egale.

Diagonalele paralelogramului se intersectează și sunt înjumătățite de punctul de intersecție.

Dovadă

Să se dea un paralelogram $ ABCD $.

1. Rețineți că colțurile adiacente $ A $ și $ B $ ale unui paralelogram sunt unilaterale interne pentru liniile paralele $ AD $ și $ BC $ și un secant $ AB $, adică suma lor este de 180 $ ^ \ circ $. La fel și pentru alte perechi de unghiuri.

Dacă $ \ angle A + \ angle B = 180 ^ \ circ $ și $ \ angle C + \ angle B = 180 ^ \ circ $, atunci $ \ angle A = \ angle C $. În mod similar, $ \ angle B = \ unghi D $.

2. Luați în considerare triunghiurile $ ABC $ și $ CDA $. Din paralelismul laturilor opuse ale paralelogramului rezultă că $ \ angle BAC = \ angle DCA $ și $ \ angle BCA = \ angle DAC $. Deoarece $ AC $ este comun, triunghiurile $ ABC $ și $ CDA $ sunt egale în al doilea criteriu. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că $ AB = CD $ și $ BC = AD $.

3. Deoarece paralelogramul este un patrulater convex, diagonalele sale se intersectează. Fie $ O $ punctul de intersecție. Din paralelismul laturilor $ BC $ și $ AD $ ale paralelogramului rezultă că $ \ angle OAD = \ angle OCB $ și $ \ angle ODA = \ angle OBC $. Luând în considerare egalitatea $ BC = AD $, obținem că triunghiurile $ AOD $ și $ COB $ sunt egale în al doilea criteriu. Prin urmare, $ AO = CO $ și $ DO = BO $, după cum este necesar.

Semne ale unui paralelogram:

Dacă într-un patrulater suma oricăror două unghiuri adiacente este de $ 180 ^ (\ circ) $, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dacă într-un patrulater unghiurile opuse sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dacă laturile opuse dintr-un patrulater sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dacă într-un patrulater două laturi sunt egale și paralele, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dacă diagonalele unui patrulater sunt înjumătățite de punctul lor de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dovadă

Să se dea un patrulater $ ABCD $.

1. Rețineți că colțurile adiacente $ A $ și $ B $ sunt interioare unilaterale pentru liniile $ AD $ și $ BC $ și secantul $ AB $. Deoarece suma lor este egală cu 180 $ ^ \ circ $, liniile $ AD $ și $ BC $ sunt paralele. În mod similar pentru o altă pereche de linii, adică $ ABCD $ este un paralelogram prin definiție.

2. Rețineți că $ \ angle A + \ angle B + \ angle C + \ angle D = 360 ^ \ circ $. Dacă $ \ angle A = \ angle C $ și $ \ angle B = \ angle D $, atunci $ \ angle A + \ angle B = 180 ^ \ circ $ și în mod similar pentru alte perechi de unghiuri adiacente. Apoi, folosim semnul anterior.

3. Luați în considerare triunghiurile $ ABC $ și $ CDA $. Deoarece $ AC $ este comun, rezultă din egalitatea laturilor opuse ale paralelogramului că triunghiurile $ ABC $ și $ CDA $ sunt egale în al treilea atribut. Prin urmare, $ \ angle BAC = \ angle DCA $ și $ \ angle BCA = \ angle DAC $, ceea ce implică paralelismul laturilor opuse.

4. Fie $ BC $ și $ AD $ să fie egale și paralele. Luați în considerare triunghiurile $ ABC $ și $ CDA $. Din paralelismul liniilor drepte rezultă că $ \ angle BCA = \ angle DAC $. Deoarece $ AC $ este comun și $ BC = AD $, triunghiurile $ ABC $ și $ CDA $ sunt egale în primul atribut. Prin urmare, $ AB = CD $. Apoi, folosim semnul anterior.

5. Fie $ O $ punctul de intersecție al diagonalelor și $ AO = CO $ și $ DO = BO $. Ținând cont de egalitatea unghiurilor verticale, obținem că triunghiurile $ AOD $ și $ COB $ sunt egale în primul atribut. Prin urmare, $ \ angle OAD = \ angle OCB $, ceea ce implică paralelismul dintre $ BC $ și $ AD $. La fel și pentru cealaltă pereche de laturi.

Definiție

Se numește un patrulater cu trei unghiuri drepte dreptunghi.

Proprietăți dreptunghiulare:

Diagonalele dreptunghiului sunt egale.

Dovadă

Să se dea un dreptunghi $ ABCD $. Deoarece dreptunghiul este un paralelogram, laturile sale opuse sunt egale. Atunci triunghiurile unghiulare $ ABD $ și $ DCA $ sunt egale în două picioare, de unde rezultă că $ BD = AC $.

Caracteristici dreptunghi:

Dacă există un unghi drept într-un paralelogram, atunci acest paralelogram este un dreptunghi.

Dacă diagonalele unui paralelogram sunt egale, atunci acest paralelogram este un dreptunghi.

Dovadă

1. Dacă unul dintre unghiurile paralelogramului este o linie dreaptă, atunci, ținând cont că suma unghiurilor adiacente este egală cu $ 180 ^ (\ circ) $, obținem că celelalte unghiuri sunt, de asemenea, drepte.

2. Fie diagonalele $ AC $ și $ BD $ în paralelogramul $ ABCD $ să fie egale. Luând în considerare egalitatea laturilor opuse ale lui $ AB $ și $ DC $, obținem că triunghiurile $ ABD $ și $ DCA $ sunt egale prin al treilea criteriu. Prin urmare, $ \ angle BAD = \ angle CDA $, adică sunt linii drepte. Rămâne să folosiți funcția anterioară.

Definiție

Se numește un patrulater în care toate laturile sunt egale romb.

Proprietăți de diamant:

Diagonalele rombului sunt reciproc perpendiculare și sunt bisectoarele colțurilor sale.

Dovadă

Să se întâlnească diagonalele $ AC $ și $ BD $ din rombul $ ABCD $ la punctul $ O $. Deoarece rombul este un paralelogram, atunci $ AO = OC $. Luați în considerare un triunghi isoscel $ ABC $. Deoarece $ AO $ este mediana până la bază, este bisectoarea și înălțimea, ceea ce era necesar.

Semne ale unui romb:

Dacă diagonalele unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare, atunci acest paralelogram este un romb.

Dacă diagonala unui paralelogram este bisectoarea unghiului său, atunci acest paralelogram este un romb.

Dovadă

Lăsați în paralelogramul $ ABCD $ diagonalele $ AC $ și $ BD $ să se întâlnească la punctul $ O $. Luați în considerare un triunghi $ ABC $.

1. Dacă diagonalele sunt perpendiculare, atunci $ BO $ este mediana și înălțimea din triunghi.

2. Dacă diagonala $ BD $ conține bisectoarea unghiului $ ABC $, atunci $ BO $ este mediana și bisectoarea din triunghi.

În ambele cazuri, obținem că triunghiul $ ABC $ este isoscel și în paralelogram laturile adiacente sunt egale. Prin urmare, este un romb, după cum este necesar.

Definiție

Un dreptunghi ale cărui două laturi adiacente sunt egale se numește pătrat.

Semne ale unui pătrat:

Dacă un romb are un unghi drept, atunci acest romb este un pătrat.

Dacă diagonalele unui romb sunt egale, atunci acest romb este un pătrat.

Dovadă

Dacă un paralelogram are un unghi drept sau este egal cu diagonala, atunci este un dreptunghi. Dacă patrulaterul este un dreptunghi și un romb, atunci este un pătrat.

Dovadă
Primul pas este de a desena o diagonală AC. Se obțin două triunghiuri: ABC și ADC.
Deoarece ABCD este un paralelogram, următoarele sunt adevărate:
AD || BC \ Rightarrow \ angle 1 = \ unghi 2 ca întins transversal.
AB || CD \ Rightarrow \ angle3 = \ angle 4 ca întins transversal.
Prin urmare, \ triangle ABC = \ triangle ADC (conform celui de-al doilea criteriu: și AC este comun).
Și, prin urmare, \ triunghiul ABC = \ triunghiul ADC, apoi AB = CD și AD = BC.
Dovedit!
2. Unghiurile opuse sunt aceleași.
Dovadă
Conform dovezilor proprietăți 1 Noi stim aia \ angle 1 = \ unghi 2, \ unghi 3 = \ unghi 4... Astfel, suma unghiurilor opuse este: \ angle 1 + \ unghi 3 = \ unghi 2 + \ unghi 4... Având în vedere că \ triunghiul ABC = \ triunghiul ADC obținem \ unghiul A = \ unghiul C, \ unghiul B = \ unghiul D.
Dovedit!
3. Diagonalele sunt împărțite în bisect prin punctul de intersecție.
Dovadă
Să desenăm încă o diagonală.
De proprietatea 1știm că laturile opuse sunt identice: AB = CD. Încă o dată, marcați unghiurile egale care se intersectează.
Astfel, puteți vedea că \ triangle AOB = \ triangle COD prin al doilea semn al egalității triunghiurilor (două unghiuri și o latură între ele). Adică BO = OD (unghiuri opuse \ unghi 2 și \ unghi 1) și AO = OC (unghiuri opuse \ unghi 3 și, respectiv, unghi 4).
Dovedit!
Semne paralelogram
Dacă în sarcina dvs. este prezentă o singură caracteristică, atunci figura este un paralelogram și puteți utiliza toate proprietățile acestei figuri.
Pentru o mai bună memorare, observăm că semnul paralelogramului va răspunde la următoarea întrebare - "cum să aflu?"... Adică, de unde știi că o anumită figură este un paralelogram.
1. Un paralelogram este un patrulater în care două laturi sunt egale și paralele.
AB = CD; AB || CD \ Rightarrow ABCD - paralelogram.
Dovadă
Să aruncăm o privire mai atentă. De ce AD || Î.Hr.?
\ triangle ABC = \ triangle ADC by proprietatea 1: AB = CD, AC - total și \ angle 1 = \ unghi 2 ca o cruce în paralel AB și CD și secant AC.
Dar dacă \ triunghiul ABC = \ triunghiul ADC, atunci \ unghiul 3 = \ unghiul 4 (se află opus AB și respectiv CD). Și de aici AD || BC (\ angle 3 și \ angle 4 - transversal sunt de asemenea egale).
Primul semn este corect.
2. Un paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt egale.
AB = CD, AD = BC \ Rightarrow ABCD - paralelogram.
Dovadă
Luați în considerare această caracteristică. Desenați din nou diagonala AC.
De proprietatea 1\ triangle ABC = \ triangle ACD.
Rezultă că: \ angle 1 = \ unghi 2 \ Rightarrow AD || Î.Hr.și \ angle 3 = \ unghi 4 \ Dreapta AB || CD, adică ABCD este un paralelogram.
Al doilea semn este corect.
3. Un paralelogram este un patrulater în care unghiurile opuse sunt egale.
\ unghiul A = \ unghiul C, \ angle B = \ unghi D \ Rightarrow ABCD- paralelogram.
Dovadă
2 \ alpha + 2 \ beta = 360 ^ (\ circ)(deoarece ABCD este un patrulater și \ unghiul A = \ unghiul C, \ unghiul B = \ unghiul D după condiție).
Deci, \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ). Dar \ alpha și \ beta sunt interne unilaterale cu un AB secant.
Și faptul că \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) mai spune că AD || Î.Hr.
În acest caz, \ alpha și \ beta sunt interne unilaterale cu un AD secant. Și asta înseamnă AB || CD.
Al treilea semn este corect.
4. Un paralelogram este un patrulater în care diagonalele sunt împărțite prin punctul de intersecție.
AO = OC; BO = OD \ Paralelogram dreapta.
Dovadă
BO = OD; AO = OC, \ angle 1 = \ unghi 2 ca vertical \ Rightarrow \ triangle AOB = \ triangle COD, \ Rightarrow \ angle 3 = \ unghi 4, și \ Rightarrow AB || CD.
În mod similar BO = OD; AO = OC, \ angle 5 = \ unghi 6 \ Dreapta \ triunghi AOD = \ triunghi BOC \ Dreapta \ unghi 7 = \ unghi 8, și \ Rightarrow AD || Î.Hr.
Al patrulea semn este corect.