Ekuacionet kuadratike x në katror. Ekuacionet kuadratike. Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike. Koncept diskriminues

Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhja, shembuj.

Vëmendje!
Ka shtesë
materiale në Seksionin Special 555.
Për ata që "nuk janë shumë ..."
Dhe për ata që janë "shumë të barabartë ...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në term ekuacioni kuadratik fjala kryesore është "sheshi". Do të thotë që në ekuacion domosdoshmërisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, ekuacioni mund (ose mund të mos jetë!) Thjesht x (në fuqinë e parë) dhe vetëm një numër (anëtar falas). Dhe nuk duhet të ketë x në një shkallë më të madhe se dy.

Në terma matematikorë, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c - disa numra. b dhe c - absolutisht çdo, por a- çdo gjë tjetër përveç zeros. Për shembull:

Këtu a =1; b = 3; c = -4

Këtu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu a =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju merrni idenë ...

Këto ekuacione kuadratike në të majtë përmbajnë komplet i plotë anëtarët. X në katror me koeficient a,x te fuqia e parë me koeficient b dhe term falas me.

Ekuacione të tilla kuadratike quhen plot.

Po nese b \u003d 0, çfarë marrim? Ne kemi x do të zhduket në shkallën e parë. Kjo ndodh nga shumëzimi me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

-x 2 + 4x \u003d 0

Etj Dhe nëse të dy koeficientët, b dhe c janë të barabarta me zero, është edhe më e thjeshtë:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Ekuacione të tilla, ku diçka mungon, quhen ekuacionet e paplota kuadratike. Cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Nga rruga, pse a nuk mund të jetë zero? Dhe ju zëvendësoni a zero.) X-ja në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe vendoset në një mënyrë krejt tjetër ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. I plotë dhe jo i plotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike zgjidhen lehtë. Me formula dhe rregulla të qarta, të thjeshta. Në fazën e parë, ekuacioni i dhënë duhet të reduktohet në një formë standarde, d.m.th. te shohesh:

Nëse ekuacioni tashmë ju është dhënë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, a, b dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Një shprehje nën shenjën rrënjë quhet diskriminues... Por për të - më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur x, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ata. koeficientët nga ekuacioni kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c në këtë formulë dhe numërimin. Zëvendësues me shenjat tuaja! Për shembull, në ekuacionin:

a =1; b = 3; c \u003d -4. Kështu që ne shkruajmë:

Shembulli është zgjidhur pothuajse:

Kjo është përgjigjja.

Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë mendoni se nuk mund të gaboni? Epo, po, si ...

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me shenjat kuptimore. a, b dhe c... Përkundrazi, jo me shenjat e tyre (ku të hutoheni?), Por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Këtu kursen një shënim i detajuar i formulës me numra specifik. Nëse ka probleme llogaritëse, bej keshtu!

Supozoni se duhet të zgjidhni këtë shembull:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini që rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u tregoni dembel. Do të duhen 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm... Kështu që ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të pikturosh me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provoje. Epo, ose zgjidhni. Cila është më e mirë, e shpejtë, apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do të të bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë për të pikturuar gjithçka me kaq kujdes. Do të funksionojë vetë. Sidomos nëse përdorni teknikat praktike të përshkruara më poshtë. Ky shembull i lig me një bandë të metash mund të zgjidhet lehtë dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

A e morët vesh?) Po! ajo ekuacionet e paplota kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Ato gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur një formulë të përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se çfarë është e barabartë këtu a, b dhe c.

A e keni kuptuar? Në shembullin e parë a \u003d 1; b \u003d -4; a c? Ai nuk është fare atje! Epo, po, ashtu është. Në matematikë, kjo do të thotë se c \u003d 0 ! Kjo eshte e gjitha. Ne zëvendësojmë zero në formulë në vend të c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë është me shembullin e dytë. Vetëm zero kemi këtu jo nga, një b !

Por ekuacionet e paplota kuadratike mund të zgjidhen shumë më lehtë. Pa asnjë formulë. Merrni parasysh ekuacionin e parë të paplotë. Çfarë mund të bësh atje në anën e majtë? Ju mund ta vendosni x-në në kllapa! Le ta nxjerrim.

Dhe çfarë prej saj? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk me beson? Epo, atëherë mendo për dy numra jo-zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk punon? Kjo eshte ...
Prandaj, ne mund të shkruajmë me besim: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Të gjitha Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dy përshtaten. Duke zëvendësuar cilindo prej tyre në ekuacionin origjinal, ne marrim identitetin e saktë 0 \u003d 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë se formula e përgjithshme. Unë do të vërej, nga rruga, cili X do të jetë i pari, dhe cili i dyti është absolutisht indiferent. Convenientshtë i përshtatshëm për të shkruar në mënyrë, x 1 - çfarë është më pak, dhe x 2 - cka eshte me shume.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Mbetet për të nxjerrë rrënjën nga 9, dhe kaq. Doli qe:

Gjithashtu dy rrënjë . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet e paplota kuadratike. Ose duke vendosur x në kllapa, ose duke transferuar thjesht numrin në të djathtë dhe pastaj duke nxjerrë rrënjën.
Extremelyshtë jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën nga x, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të vënë nga kllapat ...

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminues ! Një nxënës i rrallë i shkollës së mesme nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Fraza "të vendosësh përmes diskriminuesit" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nuk ka nevojë të presim hile të ndyra nga diskriminuesi! Useshtë e thjeshtë dhe pa probleme për t’u përdorur.) Unë kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhjen ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën rrënjë quhet diskriminuese. Zakonisht diskriminuesi shënohet me shkronjë D... Formula diskriminuese:

D \u003d b 2 - 4ac

Dhe çfarë është kaq e jashtëzakonshme në lidhje me këtë shprehje? Pse e meritonte një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Pas te gjithave -b, ose 2a në këtë formulë ata nuk përcaktojnë specifikisht ... Letra dhe shkronja.

Çështja është kjo. Kur zgjidhet një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë që ju mund të nxirrni rrënjën nga ajo. Rrënja e mirë është nxjerrë, ose e keqe - një pyetje tjetër. Shtë e rëndësishme ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë ju keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja-zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Duke folur në mënyrë rigoroze, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike... Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Asnjë rrënjë katrore nuk merret nga një numër negativ. Mirë, mirë Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Sinqerisht, me një zgjidhje të thjeshtë të ekuacioneve kuadratike, koncepti i diskriminuesit nuk kërkohet veçanërisht. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë, por ne numërojmë. Gjithçka rezulton në vetvete, dhe dy rrënjë, dhe një, dhe jo një. Sidoqoftë, gjatë zgjidhjes së detyrave më komplekse, pa njohuri kuptimi dhe formula diskriminuese jo mjaftueshem. Sidomos - në ekuacione me parametrat. Ekuacione të tilla janë aerobatika në Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Kështu që, si zgjidhen ekuacionet kuadratike përmes diskriminuesit që ju kujtoi. Ose kanë mësuar, e cila është gjithashtu e mirë.) Di të identifikosh saktë a, b dhe c... Ju e dini se si me kujdes zëvendësojini ato në formulën rrënjë dhe me kujdes lexoni rezultatin. Ju merrni idenë se fjala kyçe këtu është me kujdes?

Tani për tani, vini re praktikat më të mira që do të zvogëlojnë në mënyrë dramatike gabimet. Vetë ato që janë për shkak të pakujdesisë ... Për të cilat pastaj dhemb dhe fyen ...

Pritja e parë ... Mos u tregoni dembel përpara se të zgjidhni ekuacionin kuadratik për ta sjellë atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi, pas çdo transformimi, keni marrë ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni për të shkruar formulën rrënjë! Ju me siguri do të përzierni shanset. a, b dhe c Ndërtoni shembullin në mënyrë korrekte. Së pari, X është katror, \u200b\u200bpastaj pa katror, \u200b\u200bpastaj anëtari i lirë. Si kjo:

Përsëri, mos u ngut! Minusi përpara x-së në shesh mund të ju trishtojë shumë. Easyshtë e lehtë ta harrosh ... Shpëto minusin. Si Po, siç mësohet në temën e mëparshme! Duhet të shumëzosh të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani në mënyrë të sigurt formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të plotësoni shembullin. Beje vete. Ju duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.

E dyta e pritjes. Kontrolloni rrënjët! Nga teorema e Vietës. Mos u shqetësoni, unë do të shpjegoj gjithçka! Po kontrollon gjëja e fundit ekuacioni. Ata. ai me të cilin kemi shkruar formulën për rrënjët. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a \u003d 1, kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton që t’i shumëzojmë. Ju duhet të merrni një anëtar falas, d.m.th. në rastin tonë -2. Kushtojini vëmendje, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën time ... Nëse nuk funksionoi, atëherë tashmë është dehur diku. Shikoni për një të metë.

Nëse funksionon, duhet të palosni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Ju duhet të merrni një koeficient b nga e kundërt i njohur Në rastin tonë, -1 + 2 \u003d +1. Dhe koeficienti bqë është para x është -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Ashtë për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembuj ku x në katror është i pastër, me një koeficient a \u003d 1 Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë më pak gabime.

Pritja e treta ... Nëse ekuacioni juaj përmban koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me emëruesin e përbashkët siç përshkruhet në mësimin Si të zgjidhim ekuacionet? Transformimet identike. Kur punoni me fraksione, për disa arsye, vijnë gabime ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoj shembullin e keq me një mori të këqijash. Je i mirepritur! Ja ku është ai.

Për të mos u hutuar në minuset, shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo eshte e gjitha! Ashtë kënaqësi të vendosësh!

Pra, për të përmbledhur temën.

Këshilla praktike:

1. Para zgjidhjes, ne sjellim ekuacionin kuadratik në formën standarde, ndërtojeni atë e drejtë.

2. Nëse ka një koeficient negativ përpara x në katror, \u200b\u200bne e eleminojmë atë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, ne eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin e duhur.

4. Nëse katrori x është i pastër, koeficienti në të është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht nga teorema e Vieta-s. Beje!

Tani mund të vendosni.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Përgjigjet (në çrregullim):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5

x - çdo numër

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

nuk ka zgjidhje

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

A përshtaten të gjitha bashkë? Mire! Ekuacionet kuadratike nuk janë dhimbja juaj e kokës. Tre të parët kanë punuar, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është te ekuacionet kuadratike. Problemi është në shndërrimet identike të ekuacioneve. Bëni një shëtitje në lidhje, është e dobishme.

Jo mjaft duke punuar jashtë? Apo nuk funksionon fare? Pastaj Seksioni 555 do t'ju ndihmojë. Atje të gjithë këta shembuj janë renditur në copa. Tregohet kryesor gabimet në zgjidhje. Isshtë, natyrisht, gjithashtu e treguar në lidhje me përdorimin e transformimeve identike në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe ...

Nga rruga, unë kam edhe disa site më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testim i vërtetimit të menjëhershëm. Të mësuarit - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion që duket si sëpata 2 + dx + c \u003d 0... Ka kuptimin a, në dhe nga ndonjë numër, ndërsa a nuk është zero.

Të gjithë ekuacionet kuadratike ndahen në disa lloje, përkatësisht:

Ekuacione me vetëm një rrënjë.
-Ekuacione me dy rrënjë të ndryshme.
-Ekuacionet në të cilat nuk ka rrënjë fare.

Kjo dallon ekuacionet lineare në të cilat rrënja është gjithmonë e njëjtë, nga ato katrore. Në mënyrë që të kuptojmë se sa rrënjë në shprehje duhen Diskriminues i një ekuacioni kuadratik.

Le të themi ekuacioni ynë ax 2 + dx + c \u003d 0. Do të thotë diskriminues kuadratik -

D \u003d b 2 - 4 ac

Dhe kjo duhet të mbahet mend përgjithmonë. Duke përdorur këtë ekuacion, ne përcaktojmë numrin e rrënjëve në ekuacionin kuadratik. Dhe ne e bëjmë atë si më poshtë:

Kur D është më pak se zero, nuk ka rrënjë në ekuacion.
- Kur D është zero, ekziston vetëm një rrënjë.
- Kur D është më e madhe se zero, përkatësisht, ka dy rrënjë në ekuacion.
Mos harroni se diskriminuesi tregon sa rrënjë ka në ekuacion pa ndryshuar shenjat.

Le të shqyrtojmë për qartësi:

Ju duhet të zbuloni se sa rrënjë në një ekuacion të dhënë kuadratik.

1) x 2 - 8x + 12 \u003d 0
2) 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0
3) x 2 -6x + 9 \u003d 0

Vendosim vlerat në ekuacionin e parë, gjejmë diskriminuesin.
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12
D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16
Diskriminuesi me një shenjë plus do të thotë se ka dy rrënjë në këtë barazi.

Bëni të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë
a \u003d 1, b \u003d 3, c \u003d 7
D \u003d 3 2 - 4 * 5 * 7 \u003d 9 - 140 \u003d - 131
Vlera është minus, që do të thotë se nuk ka rrënjë në këtë barazi.

Ne e zgjerojmë ekuacionin tjetër me analogji.
a \u003d 1, b \u003d -6, c \u003d 9
D \u003d (-6) 2 - 4 * 1 * 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0
si pasojë, ne kemi një rrënjë në ekuacion.

Shtë e rëndësishme që në secilin ekuacion të shkruajmë koeficientët. Sigurisht, ky nuk është një proces shumë i gjatë, por na ndihmoi të mos ngatërrohemi dhe të parandalojmë shfaqjen e gabimeve. Nëse shumë shpesh zgjidhni ekuacione të tilla, atëherë mund të bëni llogaritjet mendërisht dhe të dini paraprakisht se sa rrënjë ka ekuacioni.

Le të shohim një shembull tjetër:

1) x 2 - 2x - 3 \u003d 0
2) 15 - 2x - x 2 \u003d 0
3) x 2 + 12x + 36 \u003d 0

Ne hedhim të parën
a \u003d 1, b \u003d -2, c \u003d -3
D \u003d (- 2) 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 16, e cila është më e madhe se zero, do të thotë dy rrënjë, ne do t'i shfaqim ato
x 1 \u003d 2+? 16/2 * 1 \u003d 3, x 2 \u003d 2-? 16/2 * 1 \u003d -1.

Ne shtrijmë të dytën
a \u003d -1, b \u003d -2, c \u003d 15
D \u003d (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 \u003d 64, e cila është më e madhe se zero dhe gjithashtu ka dy rrënjë. Le t'i shfaqim ato:
x 1 \u003d 2+? 64/2 * (-1) \u003d -5, x 2 \u003d 2-? 64/2 * (- 1) \u003d 3.

Ne shtrijmë të tretën
a \u003d 1, b \u003d 12, c \u003d 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, e cila është zero dhe ka një rrënjë
x \u003d -12 +? 0/2 * 1 \u003d -6.
Zgjidhja e këtyre ekuacioneve nuk është e vështirë.

Nëse na jepet një ekuacion kuadratik jo i plotë. Të tilla si

1x 2 + 9x \u003d 0
2x 2 - 16 \u003d 0

Këto ekuacione janë të ndryshme nga ato më sipër, meqenëse nuk është i plotë, nuk ka asnjë vlerë të tretë në të. Por, përkundër kësaj, është më e thjeshtë se një ekuacion i plotë kuadratik dhe nuk ka nevojë të kërkosh diskriminuesin në të.

Çfarë të bëni kur keni nevojë urgjente për një tezë ose një ese, por nuk ka kohë për ta shkruar atë? E gjithë kjo dhe shumë më tepër mund të porositen në uebfaqen Deeplom.by (http://deeplom.by/) dhe të marrin rezultatin më të lartë.

Shpresoj se duke studiuar këtë artikull, ju do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Me ndihmën e diskriminuesit, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike, përdoren metoda të tjera për të zgjidhur ekuacionet kuadratike jo të plota, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? ajo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c \u003d 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur ekuacionin e plotë kuadratik, duhet të llogaritni diskriminuesin D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Në varësi të asaj vlere që ka diskriminuesi, ne do të shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë x \u003d (-b) / 2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D\u003e 0),

atëherë x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, dhe x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Për shembull. Zgjidh ekuacionin x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Përgjigje: - 3.5; një.

Pra, le të paraqesim zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike nga qarku në Figurën 1.

Çdo ekuacion i plotë kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur këto formula. Thjesht duhet të keni kujdes për ta siguruar këtë ekuacioni u shkrua si një polinom standard

a x 2 + bx + c, përndryshe, ju mund të bëni një gabim. Për shembull, duke shkruar ekuacionin x + 3 + 2x 2 \u003d 0, mund të vendosni gabimisht që

a \u003d 1, b \u003d 3 dhe c \u003d 2. Pastaj

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 dhe atëherë ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen për Shembullin 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari ekuacioni i plotë katror duhet të shkruhet si polinom i formës standarde (në radhë të parë duhet të jetë monomi me eksponentin më të madh, d.m.th. a x 2 , pastaj me më pak – bxdhe pastaj një anëtar i lirë nga

Kur zgjidhet një ekuacion kuadratik i reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdoren edhe formula të tjera. Le t'i njohim edhe këto formula. Nëse në ekuacionin e plotë kuadratik për termin e dytë, koeficienti është i barabartë (b \u003d 2k), atëherë ekuacioni mund të zgjidhet duke përdorur formulat e treguara në diagramin në figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i zvogëluar nëse koeficienti në x 2 është e barabartë me një dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q \u003d 0... Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhjen, ose merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin aduke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një skemë për zgjidhjen e katrorit të zvogëluar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të zbatimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidh ekuacionin

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Le të zgjidhim këtë ekuacion duke zbatuar formulat e treguara në diagramin në Figurën 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3

Ju mund të vini re se koeficienti në x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b \u003d 6 ose b \u003d 2k, prej nga k \u003d 3. Atëherë do të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagram në figurën D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3... Duke vërejtur se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik ndahen me 3 dhe pjesëtimi duke kryer, ne marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Zgjidh këtë ekuacion duke përdorur formulat për katrorin e reduktuar
ekuacioni figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, duke zotëruar mirë formulat e treguara në diagramin e Figurës 1, gjithmonë mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

blog, faqe, me kopjimin e plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya

10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Kreu: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

mësuesi i matematikës

fshati Kopyevo, 2007

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e lashtë

1.2 Si i hartoi dhe i zgjidhi Diophantus ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teoremës së Vietës

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Përfundim

Letërsi

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e lashtë

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë edhe në kohët antike u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave të tokës dhe punimeve tokësore të një natyre ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ata ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. e Babilonas.

Duke përdorur shënimin algjebrik modern, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre të paplota, ka të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i paraqitur në tekstet babilonase, përkon në thelb me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa treguar se si u gjetën.

Pavarësisht nivelit të lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodave të përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si përpiloi dhe zgjidhi Diophantus ekuacionet kuadratike.

Në "Aritmetikën" e Diophantus nuk ka paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një seri të sistemuar të problemeve, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke hartuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur harton ekuacione, Diophantus zgjedh me shkathtësi të panjohura për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 11. Gjeni dy numra duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe produkti është 96

Diophantus argumenton si vijon: nga pohimi i problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre do të ishte i barabartë jo 96, por 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. ... 10 + x, tjetri është më pak, d.m.th. 10 - x... Dallimi midis tyre 2x.

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Nga këtu x \u003d 2... Një nga numrat e kërkuar është 12 , të tjera 8 ... Vendimi x \u003d -2 sepse Diophantus nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhim këtë problem, duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, atëherë vijmë te zgjidhja e ekuacionit

y (20 - y) \u003d 96,

y 2 - 20y + 96 \u003d 0. (2)

Shtë e qartë se duke zgjedhur gjysmë-ndryshimin e numrave të kërkuar si të panjohur, Diophantus thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta zvogëlojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet për ekuacionet kuadratike hasen tashmë në traktin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër studiues indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, të reduktuar në një formë të vetme kanonike:

ah 2 +bx \u003d c, a\u003e 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç a, mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Në Indinë e lashtë, konkursi publik për probleme të vështira ishte i zakonshëm. Një nga librat e lashtë indian thotë për konkurset e tilla si vijon: "Ndërsa dielli eklipson yjet me shkëlqimin e tij, kështu që një njeri i ditur do të eklipsojë lavdinë e tjetrit në asambletë popullore, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike". Problemet shpesh visheshin me formë poetike.

Këtu është një nga detyrat e matematikanit të famshëm indian të shekullit XII. Bhaskaras.

Problemi 13.

“Tufa e majmunëve e errët dhe dymbëdhjetë përgjatë rrushit ...

Pasi të keni ngrënë fuqinë, të argëtoheni. Ata filluan të kërcejnë, varur ...

Ka pjesën e tetë të tyre në shesh Sa majmunë ishin atje,

Isha i kënaqur në pastrim. Ju më thoni, në këtë pako? "

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai dinte për rrënjët me dy vlera të ekuacioneve kuadratike (Fig. 3).

Ekuacioni që i përgjigjet problemit 13:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x \u003d -768

dhe për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, \u200b\u200bshtohet në të dy anët 32 2 , pastaj duke marrë:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d 16 ±,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Ekuacionet kuadratike për al - Khorezmi

Në traktatin algjebrik al - Khorezmi është dhënë një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje të ekuacioneve, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Sheshet janë të barabarta me rrënjët", d.m.th. sëpata 2 + c \u003dbx

2) "Sheshet janë të barabartë me një numër", d.m.th. sëpata 2 \u003d c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah \u003d c

4) "Sheshet dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", dmth sëpata 2 + c \u003dbx

5) "Sheshet dhe rrënjët janë të barabarta me një numër", d.m.th. ah 2 +bx \u003d s

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorët", d.m.th.bx + c \u003d sëpatë 2.

Për al - Khorezmi, i cili shmangu përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo të zbritura. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive nuk merren parasysh. Autori përshkruan metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të mësipërme, duke përdorur teknikat e al-jabr dhe al-muqabal. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Përveç faktit që është thjesht retorik, duhet të theksohet, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion i paplotë kuadratik i llojit të parë

al - Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse nuk ka rëndësi në problemet specifike praktike. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të plota kuadratike, al - Khorezmi, duke përdorur shembuj të veçantë numerikë, përcakton rregullat për zgjidhjen, dhe pastaj provat gjeometrike.

Problemi 14. “Sheshi dhe numri 21 janë të barabarta me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën " (nënkupton rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 \u003d 10x).

Zgjidhja e autorit lexon diçka si kjo: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 në vetvete, zbritni 21 nga produkti, do të ketë 4. Nxirrni rrënjën e 4, merrni 2. Zbritni 2 nga 5, merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati al - Khorezmi është libri i parë që ka ardhur deri tek ne, në të cilin paraqitet sistematikisht klasifikimi i ekuacioneve kuadratike dhe jepen formula për zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike në EvropëXIII - XVII cc

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në modelin e al - Khorezmi në Evropë u prezantuan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si në vendet e Islamit ashtu edhe në Greqinë e Lashtë, dallohet nga tërësia dhe qartësia e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu qas futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga "Libri i Abacus" u transferuan në pothuajse të gjitha librat shkollorë evropianë të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

x 2 +bx \u003d s,

me të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientit b, ngau formulua në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.

Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është në dispozicion në Viet, megjithatë, Viet njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Konsideroni, përveç rrënjëve pozitive dhe negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girard, Descartes, Newton dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

1.6 Rreth teoremës së Vietës

Një teoremë që shpreh lidhjen midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të saj, me emrin Vieta, u formulua së pari nga ai në 1591 si më poshtë: "Nëse B + Dshumëzuar me A - A 2 , është e barabartë BDatëherë Anë mënyrë të barabartë NË dhe të barabartë D».

Për të kuptuar Vietën, duhet të kujtohet kjo A, si çdo zanore, nënkuptonte për të të panjohurën (tonë x), zanoret NË,D - koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm i Vieta do të thotë: nëse

(një +b) x - x 2 \u003dab,

x 2 - (a +b) x + ab = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003db.

Duke shprehur marrëdhëniet midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitetin në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vieta-s është akoma larg formës së saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë, dhe për këtë arsye, kur zgjidhte ekuacionet, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët janë pozitive.

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ngrehina madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendente. Ne të gjithë dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa 8), deri në diplomim.