Kënaqësia e leximit x. Kënaqësia e X. Një ekskursion interesant në botën e matematikës nga një prej mësuesve më të mirë në botë - Stephen Strogatz

Problemi kryesor me matematikën shkollore është se ajo nuk ka probleme. Po, unë e di se çfarë del si detyra në klasë: këto ushtrime pa shije, të mërzitshme. “Kjo është detyra. Ja se si ta zgjidhni atë. Po, ka nga ata që janë në provim. Shko tek detyrat në shtëpi 1-15 ". Çfarë mënyrë e zymtë për të mësuar matematikën: të bëhesh një shimpanze e stërvitur.

Paul Lockhard

nga eseja "Matematikan që qan"

Matematika është ndoshta një nga degët më të çuditshme të shkencës. Asnjë temë tjetër nuk kombinon kaq fort të kundërta: nga ashpërsia e provave zyrtare deri te aftësia për të "parë" ndërtime të caktuara. Matematika ka si bukuri të brendshme ashtu edhe bukuri të jashtme. Nuk ka asgjë më argëtuese sesa zgjidhja e problemeve të matematikës. Dhe asnjë lëndë tjetër nuk mësohet në shkollë kaq mesatare.

Si fillon zakonisht studimi i matematikës në shkollë? Me lëshimin e fëmijëve 7-8 vjeç një grup i pakuptueshëm simbolesh dhe përkufizimesh dhe një sistem algoritmash për përdorimin e këtij gibri. Disa gjëra, për shembull, tabela e shumëzimit, janë memorizuar.

Në klasat e ardhshme, bazuar në këtë sistem, studentëve do t'u thuhet dhe detyrohen të mësojnë përmendësh një sërë ritualesh shamanike që u lejojnë atyre të zgjidhin problemet e tortura. Do të shfaqen përkufizime të reja, të tilla si "thyesa e duhur" dhe "thyesa e gabuar" pa shpjegimin më të vogël se nga ka ardhur dhe, më e rëndësishmja, pse. Vëmendje e veçantë do t'i kushtohet zgjidhjes së problemeve të padobishme dhe të torturuara të fjalëve, të cilat kanë të njëjtën lidhje me realitetin si vetë algoritmet.

Si një provë e vogël, mund të sugjeroni të mbani mend: sa herë në jetën tuaj keni pasur nevojë për të përcaktuar një fraksion të drejtë ose të gabuar?

Unë u detyrova të mësoj përmendësh: katrori i shumës së dy numrave është i barabartë me shumën e katrorëve të tyre, të rritur me produktin e tyre të dyfishtë. Nuk kisha ide se çfarë mund të nënkuptojë kjo; kur nuk i mbaja mend këto fjalë, mësuesi më goditi në kokë me një libër, i cili, sidoqoftë, nuk më stimuloi aspak intelektin.

Bertrand Russell

filozof, logjikan dhe matematikan anglez

Në të njëjtën kohë, mësuesit do të shtypin pa mëshirë çdo mospajtim. Provoni të shkruani 5/2 në vend të 2 1/2 (për të cilën gjithmonë doni të argumentoni: nëse kam tre mollë, secila e ndarë në gjysmë, atëherë unë do të marr 5 gjysma, jo 2 mollë dhe 1 gjysmë).

Kjo temë mund të vazhdohet për një kohë të gjatë. Për më tepër, kjo është bërë tashmë në esenë e Paul Lockhart "Thirrja e Matematikanëve". Ajo tregon "Kush është fajtor" mjaft mirë. Por përgjigja për pyetjen e dytë të rëndësishme - "Çfarë të bëjmë" nuk është dhënë.

Një variant i përgjigjes për këtë pyetje është dhënë në një libër të mrekullueshëm të përkthyer kohët e fundit në rusisht. Libri quhet Kënaqësia e x.

Kënaqësi nga x

Nëse nuk mund t’i shpjegoni diçka një fëmije gjashtë vjeç, ju vetë nuk e kuptoni.

Albert Einstein

Ky është libri që duhet të bëhet desktop për çdo mësues të çdo lënde teknike, qoftë matematikë apo shkencë kompjuterike.

Autori i kësaj kënaqësie, Stephen Strogatz, është një matematikan i klasit botëror, profesor i matematikës së aplikuar në Universitetin Cornell në SHBA (një nga universitetet kryesore teknike në botë). Dhe, duke gjykuar nga libri, te ky njeri kombinohen dy cilësi të mrekullueshme që e bënë këtë vepër një bestseller: Stephen Strogatz është një matematikan dhe mësues i fortë në një person.

Ju mund të jeni në gjendje të jepni mësim, por të mos e dini mirë lëndën. Ju mund ta dini mirë lëndën, por të mos jeni në gjendje të jepni mësim. Ju mund të jeni në gjendje t’i bëni të dyja, por mediokre. Stephen Strogatz është i një lloji tjetër: ai di dhe di të mësojë si duhet.

Për çfarë flet ky libër? Në fakt, gjithçka që është disi e lidhur me matematikën. Në shikim të parë, pjesët e librit zgjidhen në mënyrë kaotike (numrat, raportet, format, kohët e ndryshimeve, të dhëna shumë anë, kufijtë janë të mundshëm), por ndërsa lexoni, filloni të kuptoni se çfarë dëshironte të transmetonte autori. Libri është i ndërtuar mbi kërkime. Hulumtimi i kryer nga autori së bashku me lexuesin.

Gama e detyrave në shqyrtim është e madhe. Çdo person, edhe ai që di matematikën në mënyrë të përsosur, do të mësojë diçka të re prej saj. Në të njëjtën kohë, konsiderohen si problemet praktike (për shembull, llogaritja e interesit të marrë nga aksionet e investuara në tregun e aksioneve) dhe ato absolutisht abstrakte.

Shumë detyra janë dhënë në një kontekst historik. Do të doja të ndalem këtu veç e veç: tani praktikisht të gjithë librat shkollorë kanë hedhur historinë e zhvillimit të matematikës. Ndërkohë, vetëm duke kuptuar kontekstin historik, dikush mund të shkojë deri në fund - nga aritmetika më e thjeshtë te teoritë moderne matematikore.

Le të kujtojmë, për shembull, ekuacionet kuadratike. Sa lot u derdhën nga studentët dhe mësuesit në një përpjekje për të mësuar përmendësh magjinë: x një ose dy është e barabartë me minus bh plus ose minus rrënjën e bh në katror minus katër a-tse dhe ndani gjithçka në dy a.

Nga rruga, kjo mënyrë e të shkruarit nuk është më e saktë sipas standardeve të reja matematikore - afërsisht. redaktor.

Njerëzit me një kujtesë të mirë dhe / ose "në temë" mund ta mbajnë mend ende teoremën e Vietas. Por në vend të gjithë kësaj, Stephen Strogatz jep një shpjegim elegant të shpikur nga al-Khwarizmi, me ndihmën e të cilit, pa ndonjë formulë, mund të gjendet lehtë dhe natyrshëm një zgjidhje (megjithëse jo e plotë: në ato ditë, numrat negativë nuk ishin përdorur gjithkund). Dhe ju siguroj, kushdo që e lexon këtë vendim do ta kujtojë atë përgjithmonë. Hera e parë.

Nga kapitulli në kapitull, vështirësia e detyrave rritet. Por të kuptuarit nuk humbet, gjë që është kënaqësia e veçantë e leximit të "Kënaqësisë së x". Lexuesi është zhytur në atmosferën që autori ka krijuar për të, praktikisht, në një botë të re të guximshme.

Nuk e di se me çfarë krahasohet ky libër. Ndoshta me leksionet e famshme të Feyman në fizikë ose me "Me siguri po talleni, Z. Feyman". Por një gjë është e sigurt: ky libër do të lërë gjurmë në shpirtrat e atyre që e lexojnë.

Një ditë në maj të vitit të kaluar, unë u ula si asistent në një test në matematikë në klasën 10. Të mërzitur, mora opsionin e punës "ekstra" nga tryeza e mësuesit dhe fillova ta zgjidh atë. Puna u bë në formatin USE në matematikë, të cilën unë e mbarova së studiuari në 1989, pasi mbarova shkollën e mesme. Sidoqoftë, pa shumë përpjekje, arrita të zgjidh 11 detyra në pjesën B- më shumë se shumë që e shkruajnë veprën atë ditë... Një nga studentët + Julia Soboleva , u befasua kur pa se si vendosa, dhe pastaj erdhi tek unë:

— Kjo është hera e parë që shoh një ndihmës që nuk është mësues i matematikës të ulet dhe të vendosë. Më falni që pyeta, por a ju ka ardhur në ndihmë në jetën tuaj?

Pyetja e klasës së dhjetë nuk më ngatërroi. Fakti është që me matematikën në shkollë kisha dashuri pa reciprocitet: në kuptimin që matematika më donte mua, dhe unë e doja atë- jo Kjo është, matematika ishte gjithmonë e lehtë për mua, nuk kishte probleme, unë gjithashtu kujtoj të gjithë mësuesit e mi të matematikës me ngrohtësi ... Por unë nuk më pëlqente matematika, dhe kaq! Kështu ndodh. Dhe, pasi hyra në një universitet humanitar (unë jam arsimtar i historisë nga arsimi), papritmas fillova të ndiej ndjeshëm mungesën e matematikës. Filloi të më dukej se po bëhesha budalla me hapa të mëdhenj. Prandaj, nga 1- 2 kurse, në mënyrë që të plotësoj këtë boshllëk, unë vetë (!) Mora dhe zgjidhja koleksione të problemeve të Olimpiadës, zgjidha të gjithë tekstin shkollor në një mënyrë të re për klasën përfundimtare. DHE- oh, mrekulli! Qartësia e mendjes dhe qëndrueshmëria e të menduarit filluan të ktheheshin pak nga pak. Dhe pastaj, tashmë në vitin e 3-të, lexoni librin e L. Carroll "Lojë logjike" (faleminderit Sergej Mikhelson), u mor me logjikën dhe nevoja për të bërë matematikë u zhduk disi. Dhe kur, dy vjet pas diplomimit, fillova të jepja mësim ekonomi, matematika u vendos fort në mendjen time.- problemet duhet të zgjidhen disi.
Pse i shkrova të gjitha këto? Kjo parathënie e gjatë ka për qëllim të shpjegojë pse unë me kënaqësi e pranova ofertën + Natalia Shanina , asistent menaxher i projektit të shtëpisë botuese + Man, Ivanov dhe Ferber , merrni për një përmbledhje librin "Kënaqësi nga X" (i tillë është fjala për fjalë verbal).
Libri më pëlqeu që në faqet e para: E dua kur shfaqet bukuria matematikë. Dhe gjithashtu më pëlqen kur modelet gjenden në të thjeshtë. Prandaj, tashmë në kapitullin e parë, unë u trondita nga zbulimi: nëse mbledhim numra tek në mënyrë sekuenciale, atëherë në total do të marrim sheshet e numrave që korrespondojnë me numrin e numrave tek të marrë me radhë. Atëherë- që numrat tek formojnë qoshe nga të cilët mund të bëni një katror, \u200b\u200bsi ky, për shembull:

Ndërsa lexoja librin, bëra zbulime të reja për veten time. Fond i algoritmeve të ndryshëm (Unë përpiqem të nxjerr një algoritëm edhe në disa procese krijuese dhe gati krijuese), nuk mund të mos ndihmoja por të shënoja një algoritëm të thjeshtë për katrorizimin e numrave deri në 50. Më pëlqente aq shumë sa që madje e skicova në një fletore.

Edhe leximi i atyre pjesëve të librit që dolën të ishin të vështira për mua (mirë, nuk më kujtohet matematika në një vëllim të tillë tashmë) ishte e lehtë. Nuk kuptova gjithçka, por pata kënaqësi edhe nga leximi edhe në këtë rast. Sepse autori sheh në gjithçka zbatimin konkret të ligjeve matematikore në realitetin përreth. Statistikat, onkologjia, madje edhe zgjedhja e një partneri në martesë - kudo ka gjurmë të matematikës. Dhe ky citat u prek veçanërisht: "Kthehu në ditët para se të ekzistonte Google, kërkimet në internet ishin të pashpresa"..

Kishte vetëm dy gjëra që penguan leximin.

1. Epo, nuk më pëlqen të lexoj në format elektronik. Për më tepër, në rastin e matematikës, ju menjëherë dëshironi të vendosni / numëroni diçka. Nëse lexoja një libër në letër, do të shkruaja në kufijtë dhe faqet falas - libra të shtëpisë botuese + Man, Ivanov dhe Ferber botuar në një mënyrë të tillë që fillimisht supozojnë se do të ketë lexues që jo vetëm që do ta lexojnë librin, por edhe do të shkruajnë në të.
2. Libri përmban një numër të madh shënimesh. Botuesi tradicionalisht lë në tekstin e librit vetëm lidhje me informacion të shkurtër, dhe bën shënime të zgjeruara në formën e shënimeve fundore. Për mua, ky format i leximit është i papërshtatshëm (dhe në format elektronik është dyfish i papërshtatshëm). Nuk më pëlqen të kërcej prapa dhe prapa në libër. Dhe leximi i shënimeve pas leximit të tekstit kryesor është jologjik. Në fund, unë vetëm i pashë me sytë e mi. Megjithëse ata meritojnë të jenë pjesë e tekstit kryesor: të shkruar në mënyrë interesante, në të njëjtin stil me tekstin e librit.

Unë do ta rekomandoja këtë libër jo vetëm për adhuruesit e matematikës, por edhe për studentët e shkollave të mesme dhe studentët. Për të siguruar një kuptim të disa gjërave që duken shumë abstrakte në një kurs shkollë apo universitar. Sigurisht, dhe për mësuesit e matematikës. Këtu + Natalia Lvova lexuar tashmë (rishikim). Do të doja shumë ta rekomandoja këtë libër dhe + Diana Sonina por - mjerisht dhe ah! - vajza shkon në të njëjtën mënyrë si nëna. Matematika është e lehtë, ajo është fituese e Olimpiadës komunale dhe atë që bëjnë me mësuesin e tyre të matematikës me gradë në punën kërkimore (me të cilën ajo ka fituar çmime më shumë se një herë në konferenca të ndryshme), duke zgjidhur problemet e Olimpiadës për nxënësit e shkollave të mesme, është e vështirë për të kuptuarin tim. Por ajo nuk dëshiron as të dëgjojë për matematikën. Duhet- bën, por pa kënaqësi.Dhe, ndërkohë, duke iu përgjigjur pyetjes se si matematika ishte e dobishme për mua në jetë, përveç disa gjërave pragmatike, unë gjithmonë kam përgjigjen: ju duhet të studioni mirë në shkollë, përfshirë edhe në mënyrë që të jeni në gjendje të ndihmoni fëmijët tuaj të mësojnë. Por vajza ime nuk ka shumë nevojë për ndihmën time- përballon vetveten. Prandaj, pyetja mbetet e hapur: pse, duke pasur parasysh kushtet e shkëlqyera të fillimit, ekziston një mësues i mirë, aftësi e mirë për këtë lëndë, ka fëmijë që nuk u pëlqen matematika? Ditën tjetër e diskutova këtë me të + Marina Kurvits , Unë jam gati ta diskutoj këtë me "matematikanët e njohur" të tjerë -+ Jüri Kurvits dhe + Ljudmilla Rozhdestvenskaja ... Cila eshte arsyeja? Dhe nsi mund ta ndryshojmë situatën? Këtu u zgjidh në rininë time. Por unë jam akoma i përhumbur nga mendimi se, pasi nuk i kam dashur matematikën më parë, kam humbur disa mundësi në jetën time ...

Bleni një libër mbi Ozonin \u003e\u003e\u003e
Bleni një libër në Labirint \u003e\u003e\u003e
Informacione rreth librit në faqen e internetit të botuesit \u003e\u003e\u003e

Sa të dobishëm janë numrat për studimin e botës përreth jush, cila është bukuria e gjeometrisë, sa elegante janë të rëndësishëm numrat dhe statistikat? Steven Strogatz flet për të gjitha këto në librin e tij "Kënaqësia e X". Autori shpjegon idetë themelore matematikore në një mënyrë të thjeshtë dhe elegante, me shembuj që të gjithë mund t’i kuptojnë. faqja boton një nga kapitujt e librit të botuar nga shtëpia botuese "Mann, Ivanov dhe Ferber".

Statistikat papritmas u bënë super të modës. Me ardhjen e internetit, tregtisë elektronike, rrjeteve sociale, një projekt për deshifrimin e gjenomit njerëzor, si dhe në lidhje me zhvillimin e kulturës dixhitale në përgjithësi, bota filloi të mbytej në të dhëna. Marketerët studiojnë shijet dhe zakonet tona. Shërbimet e inteligjencës mbledhin informacione rreth vendndodhjes sonë, postave elektronike dhe telefonatave tona. Statistikantët e sportit mashtrojnë numrat kur vendosin cilët lojtarë të blejnë, kë të rekrutojnë dhe kush të stolojnë. Të gjithë përpiqen të kombinojnë pikat në një grafik dhe të zbulojnë modelet në një koleksion të çrregullt të të dhënave.

Për çudi, këto prirje reflektohen në të mësuar. "Le t'i drejtohemi statistikave", këshillon Greg Mankiw, një ekonomist në Universitetin e Harvardit në kolonën e tij të New York Times.

“Kurrikula e matematikës në shkollën e mesme i kushton shumë kohë temave tradicionale siç janë gjeometria euklidiane dhe trigonometria. Këto ushtrime mendore të dobishme për një person mesatar, megjithatë, janë të dobishme në jetën e përditshme. Studentët do të ishin shumë më të dobishëm për të mësuar më shumë rreth teorisë dhe statistikave të probabilitetit. " David Brooks shkon edhe më tej. Në artikullin e tij mbi disiplinat që meritojnë vëmendje për një arsimim të denjë, ai shkruan: «Merrni statistika. Ju do të shihni, rezulton se njohuria se çfarë është devijimi standard do të jetë shumë e dobishme për ju në jetë ".

Likelyshtë e mundshme, por edhe mirë të kuptohet se cila është shpërndarja. Kjo është gjëja e parë për të cilën kam ndërmend të flas. Dhe unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për të, sepse ky është një nga mësimet kryesore të statistikave: gjërat duken pa shpresë të rastësishme dhe të paparashikueshme kur konsiderohen veçmas, por në tërësi ato zbulojnë një model dhe parashikueshmëri.

Ju mund ta keni parë këtë parim të demonstruar në një muze shkencor (nëse jo, videot mund të gjenden në internet). Një ekspozitë tipike është një vegël e quajtur një bord Galton, e cila disi të kujton një makinë pinball, vetëm pa flippers. Brenda tij, në intervale të barabarta, ka edhe rreshta kunjash.

Bordi Galton

Përvoja fillon me qindra topa që lëshohen në majë të bordit Galton. Kur bien, ato përplasen me kunjat dhe, me një probabilitet të barabartë, kërcejnë në të djathtë dhe pastaj në të majtë, dhe pastaj përhapen në pjesën e poshtme të bordit, duke rënë në ndarje me të njëjtën gjerësi. Lartësia e një kolone me topa tregon se sa e mundshme mund të jetë topi në një vend të caktuar. Shumica e topave janë të vendosura afërsisht në mes, ka më pak prej tyre në anët, dhe madje edhe më pak rreth skajeve.

Në përgjithësi, fotografia është jashtëzakonisht e parashikueshme: topat gjithmonë formojnë një shpërndarje në formë këmbane, megjithëse është e pamundur të parashikohet se ku do të përfundojë çdo top individual.

Si kthehen aksidentet individuale në modele të përgjithshme? Por kështu funksionon rastësia. Pjesa më e madhe e topave janë grumbulluar në kolonën e mesit sepse, para se të rrokullisen poshtë, shumë prej tyre do të bëjnë afërsisht të njëjtin numër kërcimesh djathtas dhe majtas, dhe si rezultat, ato do të jenë diku në mes. Disa topa të vetmuar, të vendosura në skajet, formojnë bishta shpërndarjeje - këto janë ato topa që, kur përplasen me kunjat, gjithmonë kërcejnë në të njëjtin drejtim. Kthime të tilla nuk ka gjasa, prandaj ka kaq pak topa nëpër skajet.

Ashtu si vendndodhja e çdo topi përcaktohet nga shuma e shumë ngjarjeve të rastësishme, shumë fenomene në këtë botë janë rezultat i shumë rrethanave të vogla dhe gjithashtu i binden kurbës në formë këmbane. Kompanitë e sigurimeve punojnë sipas këtij parimi. Ata mund të përcaktojnë me saktësi numrin e klientëve të tyre që vdesin çdo vit. Sidoqoftë, ata nuk e dinë saktësisht se kush do të jetë i pafat këtë herë.

Ose merrni, për shembull, gjatësinë e një personi. Kjo varet nga aksidente të panumërta që përfshijnë gjenetikë, biokimi, ushqim dhe mjedis. Prandaj, ka shumë të ngjarë që kur të merren së bashku, gjatësia e burrave dhe grave të rritur do të jetë një kurbë në formë zile.

Në një blog të titulluar "Të dhënat e rreme Njerëzit raportojnë rreth tyre në internet", shërbimi i statistikave të takimeve të OkCupid kohët e fundit postoi një grafik të rritjes së klientëve të tyre, ose më mirë vlerat që ata cituan. Ata zbuluan se ritmet e rritjes së të dy gjinive, siç pritej, formuan një kurbë në formë zile. Për çudi, megjithatë, të dy shpërndarjet u anuan rreth dy inç në të djathtë nga vlerat e pritshme.

Strogatz S. Kënaqësi nga H. - M .: Mann, Ivanov dhe Ferber, 2014.

Pra, ose klientët e anketuar nga OkCupid janë mbi mesataren ose shtojnë disa inç në lartësinë e tyre kur përshkruajnë veten në internet.

Versioni i idealizuar i këtyre kthesave në formë këmbane është ajo që matematikanët e quajnë shpërndarje normale. Ky është një nga konceptet më të rëndësishëm në statistikë, i cili ka një bazë teorike. Mund të tregohet se shpërndarja normale ndodh kur shtohen një numër i madh i faktorëve të vegjël të rastësishëm, secili prej tyre vepron në mënyrë të pavarur nga të tjerët. Dhe shumë gjëra ndodhin në këtë mënyrë.

Por jo të gjitha. Dhe kjo është pika e dytë për të cilën unë do të doja të tërheq vëmendjen tuaj. Shpërndarja normale nuk është aq e kudogjendshme sa duket. Për qindra vjet, dhe veçanërisht në dekadat e fundit, shkencëtarët dhe statisticienët kanë vërejtur ekzistencën e shumë fenomeneve që devijojnë nga kjo kurbë dhe ndjekin orarin e tyre. Curshtë kurioze që lloje të tilla shpërndarjesh praktikisht nuk përmenden në librat shkollorë për statistikat elementare dhe nëse ndodhin, ato zakonisht konsiderohen si një lloj patologjie.

Kjo është e çuditshme. Do të përpiqem të shpjegoj se shumë prej fenomeneve të jetës moderne marrin më shumë kuptim kur këto shpërndarje "patologjike" të kuptohen. Kjo është normaliteti i ri. Merrni, për shembull, shpërndarjen e madhësive të qytetit në Shtetet e Bashkuara. Në vend që të grumbullohen rreth një lakore mesatare në formë këmbane, shumica dërrmuese e qyteteve janë të vogla dhe prandaj grumbullohen në anën e majtë të grafikut.

Strogatz S. Kënaqësi nga H. - M .: Mann, Ivanov dhe Ferber, 2014.

Dhe sa më e madhe të jetë popullsia e qytetit, aq më rrallë gjenden qytete të tilla. Me fjalë të tjera, shpërndarja e agregatit do të jetë një kurbë në formë L se sa një zile.

Dhe kjo nuk është për t'u habitur. Të gjithë e dinë se ka shumë më pak mega-qytete sesa qytetet e vogla. Megjithëse jo aq e dukshme, madhësia e qyteteve ndjek një shpërndarje të thjeshtë të thjeshtë - kur shihet në një shkallë logaritmike.

Ne do të supozojmë se ndryshimi midis dy qyteteve është i njëjtë nëse popullsia e tyre ndryshon me të njëjtën numër herë (ashtu si dy çelësat e pianos me distancë nga një oktavë gjithmonë ndryshojnë me gjysmën e frekuencës). Dhe le të bëjmë të njëjtën gjë në boshtin vertikal.

Strogatz S. Kënaqësi nga H. - M .: Mann, Ivanov dhe Ferber, 2014.

Të dhënat tani janë hartuar në një kurbë që është pothuajse e përsosur drejt. Bazuar në vetitë e logaritmeve, është e lehtë të konkludohet se lakorja origjinale e formës L është një varësi e fuqisë-ligj, e cila përshkruhet nga një funksion i formës

ku x është popullsia e një qyteti, y është numri i qyteteve me këtë madhësi, c është një konstante, dhe eksponenti a (eksponenti) përcakton pjerrësinë negative të vijës së drejtë.

Shpërndarjet e energjisë kanë disa veti që nuk janë logjike nga pikëpamja e statistikave tradicionale. Për shembull, ndryshe nga shpërndarja normale, mënyrat, medianat dhe mjetet e tyre nuk përputhen për shkak të lakoreve asimetrike të anuar.

Presidenti Bush përfitoi shumë nga kjo, duke njoftuar në vitin 2003 se ulja e taksave i kurseu secilës familje mesatarisht 1,586 dollarë. Ndërsa kjo është matematikisht e vërtetë, këtu ai përfitoi nga zbritja mesatare, e cila fshehu zbritje të mëdha prej qindra mijëra dollarësh të marra nga 0.1% e popullsisë më të pasur të vendit. Dihet që "bishti" në anën e djathtë të shpërndarjes së të ardhurave ndjek një varësi të energjisë dhe në një situatë të tillë, përdorimi i mesatares është çorientuese, pasi është larg vlerës së saj reale. Në fakt, shumica e familjeve morën më pak se 650 dollarë. Në këtë shpërndarje, mesatarja është dukshëm më e vogël se mesatarja.

Ky shembull demonstron vetinë më të rëndësishme të shpërndarjeve të ligjit: ato kanë "bisht të rëndë" krahasuar me të paktën "bishtin e lëngshëm" të shpërndarjes normale. Bishta të tilla të mëdha, megjithëse janë të rralla, janë më të zakonshme në shpërndarjen e të dhënave sesa kthesat e zakonshme të ziles.

Të hënën e zezë, 19 tetor 1987, Mesatarja Industriale e Dow Jones ra 22%. Krahasuar me nivelin e zakonshëm të paqëndrueshmërisë në tregun e aksioneve, kjo vjeshtë ishte më shumë se njëzet devijime standarde. Sipas statistikave tradicionale (e cila përdor një shpërndarje normale), një ngjarje e tillë është pothuajse e pamundur: probabiliteti i saj është më pak se një ngjarje në 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (10 to the 50 power). Sidoqoftë, kjo ndodhi - sepse luhatjet e çmimeve në tregun e aksioneve nuk korrespondonin me shpërndarjen normale.

Shpërndarjet me një "bisht të rëndë" janë më të përshtatshme për t'i përshkruar ato. Kjo ndodh me tërmete, zjarre dhe përmbytje, duke e bërë të vështirë për kompanitë e sigurimeve për të menaxhuar rrezikun.

I njëjti model matematikor përshkruan numrin e të vdekurve nga luftërat dhe sulmet terroriste, si dhe gjëra të tjera, shumë më paqësore, siç është numri i fjalëve në një roman ose numri i partnerëve seksualë që ka një person.

Megjithëse mbiemrat e përdorur për të përshkruar bishtat e gjata i bëjnë ato të duken më pak të preferuara, shpërndarjet "bisht" mbajnë bishtin e tyre me krenari. Të guximshme, të rëndë dhe të gjatë? Po kjo është. Por në atë rast, më trego se cila është normale?

Ky libër plotësohet mirë nga:

Kuantike

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Top i parave

Michael Lewis

Ndërgjegja fleksibile

Carol Dweck

Fizika e tregut të aksioneve

James Weatherall

Gëzimi i X

Një Udhëtim Udhëzues i Matematikës, nga Një te Pafundësia

Stephen Strogatz

Kënaqësia e X

Një udhëtim emocionues në botën e matematikës nga një prej mësuesve më të mirë në botë

Informacion nga botuesi

Botuar në rusisht për herë të parë

Botuar me leje nga Steven Strogatz, c / o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Kënaqësia e X... Një udhëtim emocionues në botën e matematikës nga një prej mësuesve më të mirë në botë / Stephen Strogatz; per nga anglishtja. - M .: Mann, Ivanov dhe Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Ky libër ka potencialin të ndryshojë rrënjësisht mënyrën e të menduarit për matematikën. Ai përbëhet nga kapituj të shkurtër, në secilin prej të cilëve do të zbuloni diçka të re. Ju do të mësoni se sa janë të dobishëm numrat për të studiuar botën përreth jush, do të kuptoni se cila është bukuria e gjeometrisë, do të njiheni me hirin e llogaritjes integrale, do të shihni rëndësinë e statistikave dhe do të bini në kontakt me pafundësinë. Autori shpjegon idetë themelore matematikore në një mënyrë të thjeshtë dhe elegante, me shembuj të shkëlqyeshëm që të gjithë mund t’i kuptojnë.

Të gjitha të drejtat e rezervuara.

Asnjë pjesë e këtij libri nuk mund të riprodhohet në asnjë formë pa lejen me shkrim të mbajtësve të së drejtës së autorit.

Mbështetja ligjore e shtëpisë botuese sigurohet nga firma ligjore "Vegas-Lex"

© Steven Strogatz, 2012 Të gjitha të drejtat e rezervuara

© Përkthim në Rusisht, botim në Rusisht, dizajn. LLC "Mann, Ivanov dhe Ferber", 2014

Parathënie

Unë kam një mik i cili, përkundër zanatit të tij (ai është një artist), është i apasionuar pas shkencës. Sa herë që bashkohemi, ai flet me entuziazëm për përparimet e fundit në psikologji ose mekanikën kuantike. Por posa të fillojmë të flasim për matematikën, ai ndihet duke u dridhur në gjunjë, gjë që e shqetëson shumë. Ai ankohet se këto simbole të çuditshme matematikore jo vetëm që sfidojnë të kuptuarit e tij, por nganjëherë ai nuk di as t'i shqiptojë ato.

Në fakt, arsyeja për refuzimin e tij të matematikës është shumë më e thellë. Ai nuk e ka idenë se çfarë po bëjnë matematikanët në përgjithësi ose çfarë do të thonë kur thonë se një provë e dhënë është elegante. Ndonjëherë bëjmë shaka se unë thjesht duhet të ulem dhe ta filloj ta mësoj atë që nga fillimi, fjalë për fjalë 1 + 1 \u003d 2, dhe të thellohem në matematikë sa më shumë që të mundet.

Edhe pse kjo ide duket e çmendur, është pikërisht ajo që do të përpiqem të zbatoj në këtë libër. Unë do t'ju shëtis nëpër të gjitha fushat kryesore të shkencës, nga aritmetika te matematika e përparuar, në mënyrë që ata që dëshironin një shans të dytë të mund ta shfrytëzonin më në fund atë. Dhe këtë herë nuk keni pse të uleni në tryezën tuaj. Ky libër nuk do t'ju bëjë ekspert në matematikë. Por do t'ju ndihmojë të kuptoni se çfarë po studion kjo disiplinë dhe pse është kaq emocionuese për ata që e kuptojnë atë.

Ne do të eksplorojmë se si dunket e përplasjeve të Michael Jordan mund të ndihmojnë në shpjegimin e bazave të llogaritjes. Unë do t'ju tregoj një mënyrë të thjeshtë dhe të mahnitshme për të kuptuar teoremën themelore të gjeometrisë Euklidiane - teoremën e Pitagorës. Ne do të përpiqemi të arrijmë në zemër të disa prej mistereve të jetës, të mëdha dhe të vogla: nëse Jay Simpson vrau gruan e tij; si ta zhvendosni dyshekun në mënyrë që të zgjasë sa më gjatë; sa partnerë duhet të ndryshohen para se të martohen - dhe ne do të shohim pse disa pafundësi janë më të mëdha se të tjerët.

Matematika është kudo, vetëm duhet të mësosh ta njohësh atë. Ju mund të shihni një sinusoid në pjesën e pasme të një zebre, të dëgjoni jehona të teoremave të Euklidit në Deklaratën e Pavarësisë; çfarë mund të them, edhe në raportet e thata që i paraprinë Luftës së Parë Botërore, ka numra negativë. Ju gjithashtu mund të shihni se si fusha të reja të matematikës po ndikojnë në jetën tonë sot, për shembull, kur ne kërkojmë për restorante duke përdorur një kompjuter ose përpiqemi të paktën të kuptojmë, ose më mirë akoma, t'i mbijetojmë luhatjeve të frikshme të tregut të aksioneve.

Një seri prej 15 artikujsh nën titullin e përgjithshëm "Themelet e Matematikës" u shfaqën në internet në fund të Janarit 2010. Në përgjigje të botimit të tyre, u derdhën letra dhe komente nga lexues të të gjitha moshave, përfshirë shumë studentë dhe mësues. Kishte edhe njerëz thjesht kuriozë të cilët, për një arsye apo një tjetër, "humbën" në të kuptuarit e shkencës matematikore; tani ata ndjenin se kishin humbur diçka. rrethdhe do të doja të provoja përsëri. Veçanërisht isha i kënaqur me mirënjohjen nga prindërit e mi për faktin që, me ndihmën time, ata ishin në gjendje t'u shpjegonin matematikën fëmijëve të tyre dhe ata vetë filluan ta kuptojnë atë më mirë. Dukej se edhe kolegët dhe shokët e mi, admirues të flaktë të kësaj shkence, kishin qejf të lexonin artikujt, përveç atyre momenteve kur luftuan me njëri-tjetrin për të ofruar të gjitha llojet e rekomandimeve për përmirësimin e trurit tim.

Pavarësisht besimit popullor, ekziston një interes i qartë për matematikën në shoqëri, edhe pse këtij fenomeni i është kushtuar pak vëmendje. Ne e dëgjojmë këtë vetëm për frikën e matematikës, dhe megjithatë, shumë me dëshirë do të përpiqeshin ta kuptonin më mirë. Dhe pasi kjo të ndodhë, tashmë do të jetë e vështirë t'i shkulësh ato.

Ky libër do t'ju prezantojë me disa nga idetë më sfiduese dhe më interesante në botën e matematikës. Kapitujt janë të vegjël, të lehtë për t’u lexuar dhe jo veçanërisht të varur nga njëri-tjetri. Midis tyre ka edhe nga ato të përfshira në serinë e parë të artikujve në New York Times. Kështu që sa më shpejt që të ndjeni një uri të lehtë matematikore, mos hezitoni të trajtoni kapitullin tjetër. Nëse doni të kuptoni më hollësisht një pyetje që ju intereson, atëherë në fund të librit ka shënime me informacione dhe rekomandime shtesë, çfarë tjetër mund të lexoni në lidhje me këtë.

Për lehtësinë e lexuesve që preferojnë një qasje hap pas hapi, unë e kam ndarë materialin në gjashtë pjesë sipas rendit tradicional të temave të studimit.

Pjesa I "Numrat" fillon udhëtimin tonë me aritmetikën në kopshtin e fëmijëve dhe shkollën fillore. Ajo tregon se sa të dobishëm janë numrat dhe sa magjikisht janë efektivë në përshkrimin e botës përreth jush.

Pjesa II "Marrëdhëniet" zhvendos vëmendjen nga vetë numrat në marrëdhëniet midis tyre. Këto ide janë në thelbin e algjebrës dhe janë mjetet e para për të përshkruar se si njëra ndikon në tjetrën, duke treguar shkakësinë e një larmie gjërash: ofertën dhe kërkesën, stimulin dhe përgjigjen - me pak fjalë, të gjitha llojet e marrëdhënieve që e bëjnë botën kaq shumëplanëshe dhe të pasur. ...

Pjesa III "Shifrat" nuk tregon për numrat dhe simbolet, por për figurat dhe hapësirën - fushën e gjeometrisë dhe trigonometrisë. Këto tema, së bashku me përshkrimin e të gjitha objekteve të vëzhgueshme përmes formave, me ndihmën e arsyetimit logjik dhe provave, e rrisin matematikën në një nivel të ri të saktësisë.

Në pjesën IV, "Një kohë për ndryshim", ne do të shikojmë gurin, degën më mbresëlënëse dhe të gjithanshme të matematikës. Llogaritja bën të mundur parashikimin e trajektores së lëvizjes planetare, ciklet e zbaticës dhe rrjedhës, dhe bën të mundur kuptimin dhe përshkrimin e të gjitha proceseve dhe fenomeneve që ndryshojnë periodikisht në Univers dhe brenda nesh. Një vend i rëndësishëm në këtë pjesë i kushtohet studimit të pafundësisë, paqësimi i së cilës ishte një përparim që lejoi kompjuterin të funksiononte. Llogaritjet ndihmuan për të zgjidhur shumë probleme që lindën në botën antike, dhe kjo, në fund të fundit, çoi në një revolucion në shkencë dhe botën moderne.

Pjesa V, Të Dhëna Shumë Fytyra, merret me probabilitetin, statistikat, rrjetet dhe përpunimin e të dhënave - këto janë ende zona relativisht të reja të krijuara nga aspektet jo gjithmonë të renditura të jetës sonë, të tilla si mundësi dhe fat, pasiguri, rrezik, paqëndrueshmëri, rastësi, ndërvarësi. Duke përdorur matematikën dhe llojet e duhur të të dhënave, ne mund të mësojmë të dallojmë modelet në një lumë rastësie.

Në fund të udhëtimit tonë në Pjesën VI "Kufijtë e Mundshme" ne do t'i afrohemi kufijve të njohurive matematikore, në zonën kufitare midis asaj që dihet tashmë dhe asaj që është ende e pakapshme dhe e panjohur. Ne do të kalojmë nëpër temat përsëri në rendin që tashmë jemi njohur: numrat, raportet, format, ndryshimet dhe pafundësia, por në të njëjtën kohë do t'i shqyrtojmë secilën prej tyre më thellë, në mishërimin e tij modern.

Gëzimi i X

Një Udhëtim Udhëzues i Matematikës, nga Një te Pafundësia

Botuar me leje nga Steven Strogatz, c / o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Të gjitha të drejtat e rezervuara

© Përkthim në Rusisht, botim në Rusisht, dizajn. LLC "Mann, Ivanov dhe Ferber", 2014

Të gjitha të drejtat e rezervuara. Asnjë pjesë e versionit elektronik të këtij libri nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose në asnjë mënyrë, përfshirë postimin në internet dhe rrjetet e korporatave, për përdorim privat dhe publik pa leje me shkrim nga mbajtësi i të drejtës së autorit.

Mbështetja ligjore e shtëpisë botuese sigurohet nga firma ligjore "Vegas-Lex"

* * *

Ky libër plotësohet mirë nga:

Kuantike

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Top i parave

Michael Lewis

Ndërgjegja fleksibile

Carol Dweck

Fizika e tregut të aksioneve

James Weatherall

Parathënie

Unë kam një mik i cili, përkundër zanatit të tij (ai është një artist), është i apasionuar pas shkencës. Sa herë që bashkohemi, ai flet me entuziazëm për përparimet e fundit në psikologji ose mekanikë kuantike. Por posa të fillojmë të flasim për matematikën, ai ndihet duke u dridhur në gjunjë, gjë që e shqetëson shumë. Ai ankohet se këto simbole të çuditshme matematikore jo vetëm që sfidojnë të kuptuarit e tij, por nganjëherë ai nuk di as t'i shqiptojë ato.

Në fakt, arsyeja për refuzimin e tij të matematikës është shumë më e thellë. Ai nuk e ka idenë se çfarë po bëjnë matematikanët në përgjithësi ose çfarë do të thonë kur thonë se një provë e dhënë është elegante. Ndonjëherë bëjmë shaka se unë thjesht duhet të ulem dhe ta filloj ta mësoj atë që nga fillimi, fjalë për fjalë 1 + 1 \u003d 2, dhe të thellohem në matematikë sa më shumë që të mundet.

Edhe pse kjo ide duket e çmendur, është pikërisht ajo që do të përpiqem të zbatoj në këtë libër. Unë do t'ju shëtis nëpër të gjitha fushat kryesore të shkencës, nga aritmetika te matematika e përparuar, në mënyrë që ata që dëshironin një shans të dytë të mund ta shfrytëzonin më në fund atë. Dhe këtë herë nuk keni pse të uleni në tryezën tuaj. Ky libër nuk do t'ju bëjë ekspert në matematikë. Por do t'ju ndihmojë të kuptoni se çfarë po studion kjo disiplinë dhe pse është kaq emocionuese për ata që e kuptojnë atë.

Për të sqaruar se çfarë dua të them me jetën e numrave dhe sjelljen e tyre që nuk mund t'i kontrollojmë, le të kthehemi te Hotel Shaggy Paws. Supozoni se Humphrey ishte gati për të dorëzuar porosinë, por më pas pinguinët nga një numër tjetër e thirrën papritur dhe gjithashtu kërkuan të njëjtën sasi peshku. Sa herë Humphrey duhet të bërtasë fjalën "peshk" pasi ka marrë dy urdhra? Nëse ai nuk do të dinte asgjë për numrat, do të duhej të bërtiste sa herë që ka pinguinë në të dy dhomat. Ose, duke përdorur numra, ai mund t'i shpjegonte kuzhinierit se i duheshin gjashtë peshq për një numër dhe gjashtë për tjetrin. Por ajo që i duhet vërtet është një koncept i ri - shtesë. Sapo ta zotërojë atë, ai me krenari do të thotë se i duhen gjashtë plus gjashtë (ose, nëse është një pozues, dymbëdhjetë) peshk.

Ky është i njëjti proces krijues si kur kemi dalë për herë të parë me numra. Ashtu si numrat e bëjnë më të lehtë llogaritjen sesa mund të renditen një nga një, mbledhja e bën më të lehtë llogaritjen e çdo shume. Në të njëjtën kohë, ai që bën numërimin zhvillohet si matematikan. Shkencërisht, ky mendim mund të formulohet si më poshtë: përdorimi i abstraksioneve korrekte çon në një pasqyrë më të thellë të thelbit të çështjes dhe fuqi më të madhe në zgjidhjen e saj.

Së shpejti, mbase edhe Humphrey do ta kuptojë se tani ai gjithmonë mund të llogarisë.

Sidoqoftë, pavarësisht një perspektive të tillë të pafund, krijimtaria jonë gjithmonë ka disa kufizime. Ne mund të vendosim se çfarë kuptojmë me 6 dhe +, por pasi ta bëjmë, rezultatet e shprehjeve si 6 + 6 janë jashtë kontrollit tonë. Këtu logjika nuk do të na lërë zgjidhje. Në këtë kuptim, matematika gjithmonë përfshin, si një shpikje, kështu dhe zbulimi: ne ne shpikim koncept por ne hapemi pasojat e tyre. Siç do të bëhet e qartë në kapitujt vijues, në matematikë liria jonë qëndron në aftësinë për të bërë pyetje dhe për të kërkuar me këmbëngulje përgjigje për to, por pa i shpikur ato vetë.

2. Aritmetika e gurit

Si çdo fenomen në jetë, aritmetika ka dy anë: zyrtare dhe argëtuese (ose lozonjare).

Ne kemi studiuar pjesën zyrtare në shkollë. Aty ata na shpjeguan se si të punojmë me kolona numrash, duke i mbledhur dhe zbritur ato, si t'i lopatojmë kur kryejmë llogaritjet në fletëllogaritëse kur plotësojmë deklaratat tatimore dhe përgatisim raportet vjetore. Ky aspekt i aritmetikës për shumë duket se është i rëndësishëm nga pikëpamja praktike, por plotësisht i zymtë.

Ana argëtuese e aritmetikës mund të gjendet vetëm në procesin e studimit të matematikës së lartë. {3} ... Sidoqoftë, është po aq e natyrshme sa kurioziteti i fëmijës. {4}.

Në esenë "Vajtimet e Matematikanit", Paul Lockhart sugjeron studimin e numrave me shembuj më konkretë se zakonisht: ai na kërkon që t'i përfaqësojmë si një numër gurësh. Për shembull, numri 6 korrespondon me grupin e mëposhtëm të guralecave:

Vështirë se do të shihni ndonjë gjë të pazakontë këtu. Mënyra si është. Derisa të fillojmë të manipulojmë numrat, ata duken pothuajse njësoj. Loja fillon kur marrim detyrën.

Për shembull, le të shohim grupe që kanë nga 1 deri në 10 gurë dhe të përpiqemi të shtojmë katrorë prej tyre. Kjo mund të bëhet vetëm me dy grupe prej 4 dhe 9 gurësh, pasi 4 \u003d 2 × 2 dhe 9 \u003d 3 × 3. Këto numra i marrim duke katrorizuar ndonjë numër tjetër (domethënë duke vendosur gurët në një katror).

Këtu është një problem me një numër më të madh të zgjidhjeve: duhet të zbuloni se nga cilat grupe do të dalë drejtkëndëshi nëse rregulloni gurët në dy rreshta me një numër të barabartë të elementeve. Komplete prej 2, 4, 6, 8 ose 10 gurësh janë të përshtatshme këtu; numri duhet të jetë çift. Nëse përpiqemi të rregullojmë setet e mbetura me një numër të rastësishëm gurësh në dy rreshta, atëherë pa dyshim do të kemi një gur shtesë.

Por gjithçka nuk është e humbur për këto numra të vështirë! Nëse marrim dy bashkësi të tilla, atëherë elementët shtesë do të gjejnë një çift, dhe shuma do të jetë çift: numër tek + numër tek \u003d numër çift.

Nëse i shtrijmë këto rregulla në numra pas 10, dhe supozojmë se numri i rreshtave në një drejtkëndësh mund të jetë më shumë se dy, atëherë disa numra tek do të lejojnë që të shtohen drejtkëndësha të tillë. Për shembull, numri 15 mund të përbëjë një drejtkëndësh 3 × 5.

Prandaj, megjithëse 15 është padyshim një numër tek, ai është i përbërë dhe mund të përfaqësohet si tre rreshta me pesë gurë secili. Po kështu, çdo hyrje në tabelën e shumëzimit jep grupin e vet drejtkëndor të guralecave.

Por disa numra si 2, 3, 5 dhe 7 janë plotësisht të pashpresë. Asgjë nuk mund të përcaktohet prej tyre, përveç mënyrës së rregullimit të tyre në formën e një linje të thjeshtë (një rresht). Këta kokëfortë të çuditshëm janë kryeministrat e famshëm.

Pra, ne shohim që numrat mund të kenë struktura të çuditshme që u japin atyre një karakter të caktuar. Por, për të përfaqësuar të gjithë spektrin e sjelljes së tyre, është e nevojshme të distancohemi nga numrat individualë dhe të vëzhgojmë se çfarë ndodh gjatë ndërveprimit të tyre.

Për shembull, në vend që të shtoni vetëm dy numra tek, shtoni të gjitha sekuencat e mundshme të numrave tek, duke filluar me 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Çuditërisht, këto shuma gjithmonë rezultojnë të jenë katrorë të përsosur. (Ne kemi thënë tashmë që 4 dhe 9 mund të paraqiten si katrorë, por për 16 \u003d 4 × 4 dhe 25 \u003d 5 × 5 kjo është gjithashtu e vërtetë.) Një llogaritje e shpejtë tregon se ky rregull është i vërtetë edhe për numrat e mëdhenj tek dhe me sa duket priret drejt pafundësisë. Por cila është lidhja midis numrave tek me gurët e tyre "ekstra" dhe numrave klasikisht simetrik që formojnë katrorë? Duke vendosur guralecët në mënyrë korrekte, ne mund ta bëjmë të dukshme, e cila është vulë e një prove të hijshme. {5}

Çelësi i kësaj është vëzhgimi se numrat tek mund të paraqiten si kënde barabrinjës, mbivendosja e njëpasnjëshme e të cilave formon një katror!

Një linjë e ngjashme arsyetimi paraqitet në një libër tjetër të botuar së fundmi. Romani simpatik i Yoko Ogawa, The Sousekeeper and the Professor, ndjek një grua të re mendjemprehtë, por të paarsimuar dhe djalin e saj dhjetë vjeçar. Një grua u punësua për t'u kujdesur për një matematikan të moshuar i cili, për shkak të një dëmtimi në kokë, mban informacion vetëm për 80 minutat e fundit të jetës së tij në kujtesën e tij afatshkurtër. I humbur në të tashmen, i vetëm në vilën e tij skandaloze, duke mos pasur asgjë përveç numrave, profesori përpiqet të komunikojë me shtëpinë në mënyrën e vetme që ai di: duke pyetur për madhësinë e këpucëve të saj ose datën e saj të lindjes dhe duke bërë biseda të vogla me të për shpenzimet e saj. Profesori gjithashtu ka një pëlqim të veçantë për djalin e rojes së shtëpisë, të cilin ai e quan Ruth (Root), sepse djali ka një kokë të sheshtë sipër, dhe kjo i kujton atij shënimin në matematikë të rrënjës katrore.

Një ditë profesori i kërkon djalit një problem të thjeshtë - të gjejë shumën e të gjithë numrave nga 1 në 10. Pasi Ruth mbledh me kujdes të gjithë numrat së bashku dhe kthehet me përgjigjen (55), profesori i kërkon që të kërkojë një mënyrë më të lehtë. A mund ta gjejë ai përgjigjen pa mbledhja e zakonshme e numrave? Ruth godet një karrige dhe bërtet, "Kjo nuk është e drejtë!"

Pak nga pak, kujdestarja e shtëpisë tërhiqet gjithashtu nga bota e numrave dhe vetë përpiqet fshehurazi ta zgjidhë këtë problem. "Nuk e kuptoj pse u mora kaq shumë me problemin e një fëmije, i cili nuk ka përdorim praktik", thotë ajo. “Në fillim doja ta kënaqja profesorin, por gradualisht ky aktivitet u shndërrua në një betejë midis meje dhe numrave. Kur u zgjova në mëngjes, ekuacioni tashmë po më priste:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,