Квадратни уравнения x на квадрат. Квадратни уравнения. Решаване на пълни квадратни уравнения. Дискриминантна концепция
Квадратни уравнения. Дискриминанта. Решение, примери.
Внимание!
Има и допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които "не са много ..."
И за тези, които са "много равномерни ...")
Видове квадратни уравнения
Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнение ключовата дума е "квадрат". Това означава, че в уравнението задължително трябва да има х на квадрат. В допълнение към него уравнението може (или може да не е!) Просто x (в първата степен) и само число (безплатен член). И не трябва да има х до степен, по-голяма от две.
В математически термин квадратното уравнение е уравнение на формата:
Тук a, b и c - някои числа. b и c - абсолютно всякакви, но и- нещо различно от нула. Например:
Тук и =1; б = 3; ° С = -4
Тук и =2; б = -0,5; ° С = 2,2
Тук и =-3; б = 6; ° С = -18
Е, разбирате идеята ...
Тези квадратни уравнения вляво съдържат пълен комплект членове. X на квадрат с коефициент и,x към първата степен с коефициент б и свободен срок с.
Такива квадратни уравнения се наричат пълен.
Какво ако б \u003d 0, какво получаваме? Ние имаме x ще изчезне в първата степен. Това се случва от умножение по нула.) Оказва се, например:
5x 2 -25 \u003d 0,
2x 2 -6x \u003d 0,
-x 2 + 4x \u003d 0
И т.н. И ако и двата коефициента, б и ° С са равни на нула, все пак е по-просто:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Такива уравнения, където нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения. Което е съвсем логично.) Моля, обърнете внимание, че x на квадрат присъства във всички уравнения.
Между другото защо и не може да бъде нула? И вие замествате и нула.) X в квадрата ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И се решава по съвсем различен начин ...
Това са всички основни видове квадратни уравнения. Пълна и непълна.
Решаване на квадратни уравнения.
Решаване на пълни квадратни уравнения.
Квадратичните уравнения са лесни за решаване. Чрез формули и ясни, прости правила. На първия етап даденото уравнение трябва да бъде намалено до стандартна форма, т.е. да гледам:
Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното нещо е да определите правилно всички коефициенти, и, б и ° С.
Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:
Извиква се израз под коренния знак дискриминанта... Но за него - по-долу. Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и c в тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци! Например в уравнението:
и =1; б = 3; ° С \u003d -4. Затова записваме:
Примерът е почти решен:
Това е отговорът.
Всичко е много просто. И какво мислите, че не можете да сгрешите? Е, да, как ...
Най-често срещаните грешки са объркване със смислови знаци. a, b и c... По-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се запазва подробна нотация на формулата с конкретни числа. Ако има изчислителни проблеми, направи го!
Да предположим, че трябва да решите този пример:
Тук а = -6; б = -5; ° С = -1
Да предположим, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.
Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броят на грешките рязко ще намалее... Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:
Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но изглежда само. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или нали? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Ще се получи точно от само себе си. Особено ако използвате описаните по-долу практически техники. Този зъл пример с куп недостатъци може да бъде решен лесно и без грешки!
Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например по този начин:
Разбрахте ли?) Да! то непълни квадратни уравнения.
Решаване на непълни квадратни уравнения.
Те също могат да бъдат решени с помощта на обща формула. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук a, b и c.
Разбрахте ли? В първия пример a \u003d 1; b \u003d -4; и ° С? Той изобщо не е там! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c \u003d 0 ! Това е всичко. Заместваме нула във формулата вместо ° С, и ще успеем. Същото е и с втория пример. Тук нямаме само нула от, и б !
Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Помислете за първото непълно уравнение. Какво можете да правите там от лявата страна? Можете да извадите х от скобите! Да го извадим.
И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула, ако и само ако, когато някой от факторите е равен на нула! Не ми вярвате? Е, тогава помислете за две ненулеви числа, които, умножени, ще дадат нула!
Не работи? Това е ...
Затова можем уверено да напишем: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.
Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете се вписват. Заменяйки който и да е от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 \u003d 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от общата формула. Между другото ще отбележа кой X ще бъде първият и кой ще бъде вторият - това е абсолютно безразлично. Удобно е да записвате по ред, x 1 - това, което е по-малко, и x 2 - какво повече.
Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 вдясно. Получаваме:
Остава да се извлече коренът от 9 и това е всичко. Оказва се:
Също така два корена . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.
Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или като поставите x в скоби, или като просто прехвърлите числото вдясно и след това извлечете корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корен от х, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скобите ...
Дискриминанта. Дискриминантна формула.
Вълшебна дума дискриминанта ! Рядък гимназист не е чувал тази дума! Изразът „вземане на решение чрез дискриминанта“ е успокояващ и успокояващ. Защото няма нужда да чакате мръсни трикове от дискриминанта! Той е лесен и безпроблемен за използване.) Спомням си най-общата формула за решаване всякакви квадратни уравнения:
Изразът под коренния знак се нарича дискриминант. Обикновено дискриминантът се обозначава с буквата д... Дискриминантна формула:
D \u003d b 2 - 4ac
И какво е толкова забележителното в този израз? Защо заслужава специално име? Какво значението на дискриминанта? След всичко -b, или 2а в тази формула те не посочват конкретно ... Букви и букви.
Въпросът е в това. При решаване на квадратно уравнение с помощта на тази формула е възможно само три случая.
1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Добър корен се извлича, или лош - друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.
2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Тъй като добавянето-изваждане на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви... Но в опростена версия е обичайно да се говори за това едно решение.
3. Дискриминантът е отрицателен. От отрицателно число не се взема квадратен корен. Ми добре. Това означава, че няма решения.
Честно казано, с просто решение на квадратни уравнения, понятието дискриминант не се изисква особено. Ние заместваме стойностите на коефициентите във формулата, но броим. Всичко се оказва от само себе си, и два корена, и един, и не един. Въпреки това, при решаване на по-сложни задачи, без знания значение и дискриминантна формула не достатъчно. Особено - в уравнения с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж на държавния изпит и единния държавен изпит!)
Така, как да се решават квадратни уравнения чрез дискриминанта, който си спомнихте. Или са научили, което също е добре.) Знаете как правилно да се идентифицирате a, b и c... Ти знаеш как внимателно заместете ги в основната формула и внимателно прочетете резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?
Засега вземете под внимание най-добрите практики, които драстично ще намалят грешките. Самите, които се дължат на невнимание ... За които тогава боли и обижда ...
Първи прием
... Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратното уравнение, за да го приведете в стандартната форма. Какво означава това?
Да кажем, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:
Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете. a, b и c. Изградете правилно примера. Първо, X е на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. Като този:
Отново не бързайте! Минусът пред х на квадрата може наистина да ви натъжи. Лесно е да го забравите ... Отървете се от минуса. Как Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножите цялото уравнение по -1. Получаваме:
Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да попълните примера. Направи го сам. Трябва да имате корени 2 и -1.
Прием втори. Проверете корените! По теорема на Виета. Не се тревожете, ще обясня всичко! Проверка последно нещо уравнението. Тези. тази, с която записахме формулата за корените. Ако (както в този пример) коефициентът a \u003d 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножим. Трябва да получите безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с моя знак ... Ако не е работило, значи вече е прецакано някъде. Потърсете грешката.
Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да получите коефициент б от противоположно
познати. В нашия случай -1 + 2 \u003d +1. И коефициентът бкоето е преди x е -1. И така, всичко е правилно!
Жалко, че това е толкова просто само за примери, когато x на квадрат е чист, с коефициент a \u003d 1. Но поне проверете такива уравнения! Ще има по-малко грешки.
Прием трети ... Ако вашето уравнение съдържа дробни коефициенти, отървете се от дроби! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в урока Как да решим уравнения? Идентични трансформации. При работа с фракции по някаква причина грешките обикновено се появяват ...
Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Вие сте добре дошъл! Ето го.
За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:
Това е всичко! Удоволствие е да решите!
И така, за да обобщим темата.
Практически съвети:
1. Преди да решим, ние привеждаме квадратното уравнение в стандартната форма, изграждаме го нали.
2. Ако има отрицателен коефициент пред х на квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.
3. Ако коефициентите са дробни, ние елиминираме фракциите, като умножим цялото уравнение по подходящия коефициент.
4. Ако x на квадрат е чист, коефициентът при него е равен на единица, решението може лесно да бъде проверено чрез теоремата на Vieta. Направи го!
Сега можете да решите.)
Решаване на уравнения:
8x 2 - 6x + 1 \u003d 0
x 2 + 3x + 8 \u003d 0
x 2 - 4x + 4 \u003d 0
(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)
Отговори (в безпорядък):
x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5
х 1,2 \u003d2
x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5
x - произволно число
x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3
няма решения
x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5
Всичко това съвпада ли? Глоба! Квадратните уравнения не са главоболието ви. Първите трима работиха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратни уравнения. Проблемът е в еднакви трансформации на уравнения. Разходете се по връзката, полезно е.
Не съвсем работи? Или изобщо не работи? Тогава ще ви помогне раздел 555. Там всички тези примери са подредени на парчета. Показани основното грешки в решението. Разбира се, също така се разказва за използването на еднакви трансформации в решението на различни уравнения. Помага много!
Ако този сайт ви харесва ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Квадратното уравнение е уравнение, което изглежда така брадва 2 + dx + c \u003d 0... Той има значението а, в и от всякакви числа, докато и не е нула.
Всички квадратни уравнения са разделени на няколко типа, а именно:
Уравнения само с един корен.
-Уравнения с два различни корена.
-Уравнения, в които изобщо няма корени.
Това разграничава линейни уравнения, при които коренът винаги е един и същ, от квадратните. За да се разбере колко корена в израза са необходими Дискриминант на квадратно уравнение.
Да приемем, че нашето уравнение ax 2 + dx + c \u003d 0. Означава квадратичен дискриминант -
D \u003d b 2 - 4 ac
И това трябва да се помни завинаги. Използвайки това уравнение, определяме броя на корените в квадратното уравнение. И го правим по следния начин:
Когато D е по-малко от нула, в уравнението няма корени.
- Когато D е нула, има само един корен.
- Когато D е по-голямо от нула, съответно, в уравнението има два корена.
Не забравяйте, че дискриминантът показва колко корена са в уравнението, без да променя знаците.
Нека помислим за яснота:
Трябва да разберете колко корена са в дадено квадратно уравнение.
1) x 2 - 8x + 12 \u003d 0
2) 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0
3) x 2 -6x + 9 \u003d 0
Въвеждаме стойностите в първото уравнение, намираме дискриминанта.
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12
D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16
Дискриминантът със знак плюс означава, че това равенство има два корена.
Направете същото с второто уравнение
a \u003d 1, b \u003d 3, c \u003d 7
D \u003d 3 2 - 4 * 5 * 7 \u003d 9 - 140 \u003d - 131
Стойността е минус, което означава, че няма корени в това равенство.
Разширяваме следващото уравнение по аналогия.
a \u003d 1, b \u003d -6, c \u003d 9
D \u003d (-6) 2 - 4 * 1 * 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0
като следствие имаме един корен в уравнението.
Важно е във всяко уравнение да сме изписвали коефициентите. Разбира се, това не е много дълъг процес, но ни помогна да не се объркаме и предотврати появата на грешки. Ако много често решавате такива уравнения, тогава можете да правите изчисления психически и предварително да знаете колко корена има уравнението.
Нека разгледаме друг пример:
1) x 2 - 2x - 3 \u003d 0
2) 15 - 2x - x 2 \u003d 0
3) x 2 + 12x + 36 \u003d 0
Излагаме първото
a \u003d 1, b \u003d -2, c \u003d -3
D \u003d (- 2) 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 16, което е по-голямо от нула, това означава два корена, ние ще ги покажем
x 1 \u003d 2+? 16/2 * 1 \u003d 3, x 2 \u003d 2-? 16/2 * 1 \u003d -1.
Излагаме втория
a \u003d -1, b \u003d -2, c \u003d 15
D \u003d (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 \u003d 64, което е по-голямо от нула и също има два корена. Нека ги покажем:
x 1 \u003d 2+? 64/2 * (-1) \u003d -5, x 2 \u003d 2-? 64/2 * (- 1) \u003d 3.
Излагаме третия
a \u003d 1, b \u003d 12, c \u003d 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, което е нула и има един корен
x \u003d -12 +? 0/2 * 1 \u003d -6.
Решаването на тези уравнения не е трудно.
Ако ни бъде дадено непълно квадратно уравнение. Като
1x 2 + 9x \u003d 0
2x 2 - 16 \u003d 0
Тези уравнения са различни от горните, тъй като не са пълни, в него няма трета стойност. Но въпреки това, то е по-просто от пълно квадратно уравнение и не е нужно да търсите дискриминанта в него.
Какво да направите, когато имате спешна нужда от дипломна работа или есе, но няма време да го напишете? Всичко това и много повече можете да поръчате на уебсайта Deeplom.by (http://deeplom.by/) и да получите най-високата оценка.
Надявам се, след като проучите тази статия, ще научите как да намерите корените на едно пълно квадратно уравнение.
С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения; други методи се използват за решаване на непълни квадратни уравнения, които ще намерите в статията "Решаване на непълни квадратни уравнения".
Какви квадратни уравнения се наричат \u200b\u200bпълни? то уравнения на формата ax 2 + b x + c \u003d 0където коефициентите a, b и c не са равни на нула. Така че, за да решите пълното квадратно уравнение, трябва да изчислите дискриминанта D.
D \u003d b 2 - 4ac.
В зависимост от това каква стойност има дискриминантът, ще запишем отговора.
Ако дискриминантът е отрицателен (D< 0),то корней нет.
Ако дискриминантът е нула, тогава x \u003d (-b) / 2a. Когато дискриминантът е положително число (D\u003e 0),
тогава x 1 \u003d (-b - √D) / 2a и x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.
Например. Решете уравнението x 2 - 4x + 4 \u003d 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2
Отговор: 2.
Решете уравнение 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Отговор: няма корени.
Решете уравнение 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.
D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Отговор: - 3,5; 1.
И така, нека представим решението на пълни квадратни уравнения по схемата на фигура 1.
Всяко пълно квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на тези формули. Просто трябва да внимавате, за да се уверите, че това уравнението беше написано като стандартен полином
и x 2 + bx + c, в противен случай можете да сгрешите. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 \u003d 0, можете погрешно да решите това
a \u003d 1, b \u003d 3 и c \u003d 2. Тогава
D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решението на пример 2 по-горе).
Следователно, ако уравнението не е написано като полином на стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином на стандартната форма (на първо място трябва да бъде мономът с най-големия степен, т.е. и x 2 , след това с по-малко – bxи след това безплатен член от.
Когато се решава намаленото квадратно уравнение и квадратното уравнение с четен коефициент при втория член, могат да се използват и други формули. Нека се запознаем и с тези формули. Ако в пълното квадратно уравнение за втория член коефициентът е четен (b \u003d 2k), то уравнението може да бъде решено с помощта на формулите, показани на диаграмата на фигура 2.
Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при x 2 е равно на единица и уравнението приема формата x 2 + px + q \u003d 0... Такова уравнение може да се даде за решението или се получава чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента истои на x 2 .
Фигура 3 показва схема за решаване на намаления квадрат 
уравнения. Нека разгледаме пример за приложението на формулите, обсъдени в тази статия.
Пример. Решете уравнението
3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.
Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на диаграмата на фигура 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3
x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3
Отговор: -1 - √3; –1 + √3
Може да се отбележи, че коефициентът при x в това уравнение е четно число, т.е. ) \u003d 9 + 18 \u003d 27
√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Отговор: -1 - √3; –1 + √3... Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение са разделени на 3 и извършваме разделянето, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Решаваме това уравнение, като използваме формулите за намаленото квадратично 
уравнение фигура 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3
Отговор: -1 - √3; –1 + √3.
Както можете да видите, когато решаваме това уравнение с помощта на различни формули, получихме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили добре формулите, показани на диаграмата на фигура 1, винаги можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.
блог. сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.
Копявская селска гимназия
10 начина за решаване на квадратни уравнения
Ръководител: Галина Анатолиевна Патрикеева,
учител по математика
с. Копиево, 2007
1. Историята на развитието на квадратни уравнения
1.1 Квадратни уравнения в Древен Вавилон
1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения
1.3 Квадратни уравнения в Индия
1.4 Квадратични уравнения от ал-Хорезми
1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век
1.6 За теоремата на Виета
2. Методи за решаване на квадратни уравнения
Заключение
Литература
1. Историята на развитието на квадратни уравнения
1.1 Квадратни уравнения в Древен Вавилон
Необходимостта от решаване на уравнения не само на първата, но и на втората степен, дори в древни времена, е била породена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи от земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на самата астрономия и математика. Те успяха да решат квадратни уравнения около 2000 г. пр. Н. Е. д. Вавилонци.
Прилагайки съвременната алгебрична нотация, можем да кажем, че в клинописните им текстове освен непълни има и такива, например, пълни квадратни уравнения:
х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5
Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, по същество съвпада с модерното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, намерени досега, създават проблеми само с решения, изложени под формата на рецепти, без инструкции как са намерени.
Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва концепцията за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.
1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.
В "Аритметиката" на Диофант няма систематично представяне на алгебра, но тя съдържа систематизирана поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез съставяне на уравнения от различна степен.
Когато съставя уравнения, Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.
Ето например една от задачите му.
Задача 11. Намерете две числа, като знаете, че тяхната сума е 20, а произведението е 96
Диофан твърди по следния начин: от постановката на проблема следва, че търсените числа не са равни, тъй като ако са равни, произведението им би било равно не на 96, а на 100. По този начин един от тях ще бъде повече от половината от сумата им, т.е. ... 10 + х, другото е по-малко, т.е. 10 - х... Разликата между тях 2x.
Оттук и уравнението:
(10 + x) (10 - x) \u003d 96
100 - х 2 \u003d 96
x 2 - 4 \u003d 0 (1)
Оттук x \u003d 2... Един от необходимите числа е 12 , други 8 ... Решение x \u003d -2 за Диофан не съществува, тъй като гръцката математика знаеше само положителни числа.
Ако решим този проблем, като изберете едно от необходимите числа като неизвестни, тогава стигаме до решението на уравнението
y (20 - y) \u003d 96,
y 2 - 20y + 96 \u003d 0. (2)
Ясно е, че избирайки полуразликата на търсените числа като неизвестна, Диофан опростява решението; той успява да сведе задачата до решаване на непълно квадратно уравнение (1).
1.3 Квадратни уравнения в Индия
Проблеми за квадратни уравнения вече се срещат в астрономическия тракт „Aryabhattiam“, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (VII век), очертава общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведено до една канонична форма:
ах 2 +бx \u003d c, a\u003e 0. (1)
В уравнение (1) коефициентите, с изключение на и, може да бъде отрицателно. Правилото на Брахмагупта по същество е същото като нашето.
В древна Индия публичното състезание за трудни проблеми беше често срещано. В една от древните индийски книги се казва следното за подобни състезания: „Както слънцето затъмнява звездите с блясъка си, така ученият човек ще затъмни славата на друг в народните събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи“. Проблемите често бяха облечени в поетична форма.
Ето една от задачите на известния индийски математик от XII век. Баскарас.
Задача 13.
„Вълнуващо ято маймуни и дванадесет по лозите ...
След като изядете силата, забавлявайте се. Започнаха да скачат, да висят ...
На площада има осма част от тях Колко маймуни бяха там,
Забавлявах се на поляната. Кажете ми, в този пакет? "
Решението на Bhaskara показва, че той е знаел за двузначните корени на квадратни уравнения (фиг. 3).
Уравнение, съответстващо на задача 13:
(х/8) 2 + 12 = х
Bhaskara пише под прикритието:
x 2 - 64x \u003d -768
и за да завършите лявата страна на това уравнение до квадрат, добавя към двете страни 32 2 , след това получаване:
x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,
(x - 32) 2 \u003d 256,
x - 32 \u003d ± 16,
x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.
1.4 Квадратични уравнения за ал - Хорезми
В алгебричния трактат ал - Хорезми е дадена класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът брои 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:
1) "Квадратите са равни на корени", т.е. брадва 2 + c \u003dбх.
2) „Квадратите са равни на число“, т.е. брадва 2 \u003d c.
3) "Корените са равни на броя", т.е. ах \u003d c.
4) "Квадратите и числата са равни на корени", т.е. брадва 2 + c \u003dбх.
5) "Квадратите и корените са равни на число", т.е. ах 2 +bx \u003d s.
6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е.bx + c \u003d брадва 2.
За ал - Хорезми, който избягва да използва отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения се добавят, а не се изваждат. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на горните уравнения, използвайки техниките на al - jabr и al - muqabal. Решенията му, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Освен факта, че е чисто риторичен, трябва да се отбележи например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи тип
ал - Хорезми, както всички математици до 17 век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото няма значение в конкретни практически задачи. Когато решава пълни квадратни уравнения, ал - Хорезми, използвайки конкретни цифрови примери, определя правилата за решаване и след това геометрични доказателства.
Задача 14. „Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корен " (предполага корен на уравнението x 2 + 21 \u003d 10x).
Решението на автора гласи по следния начин: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножавате 5 само по себе си, изваждате 21 от продукта, ще има 4. Извличайте корена от 4, получавате 2. Изваждате 2 от 5, получавате 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което дава 7, това също е корен.
Трактатът ал-Хорезми е първата книга, дошла до нас, в която систематично се представя класификацията на квадратните уравнения и се дават формули за тяхното решение.
1.5 Квадратни уравнения в ЕвропаXIII - XVII cc
Формули за решаване на квадратни уравнения по модела на Ал - Хорезми в Европа са изложени за първи път в "Книгата на Абак", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази обемна работа, която отразява влиянието на математиката, както в страните на исляма, така и в Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработи някои нови алгебрични примери за решаване на проблеми и беше първият в Европа, който се приближи към въвеждането на отрицателни числа. Неговата книга допринася за разпространението на алгебрични знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много проблеми от „Книгата на Абака“ са пренесени в почти всички европейски учебници от 16 - 17 век. и отчасти XVIII.
Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведено до една канонична форма:
x 2 +bx \u003d s,
с всички възможни комбинации от знаци на коефициента б, оте формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.
Vieta има общо изведение на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. Помислете освен положителни и отрицателни корени. Едва през 17 век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.
1.6 За теоремата на Виета
Теорема, изразяваща връзката между коефициентите на едно квадратно уравнение и неговите корени, наречена Vieta, е формулирана за първи път от него през 1591 г., както следва: „Ако Б. + думножено по A - A 2 , равно на BDтогава Aпо равно IN и равни д».
За да разберем Виета, трябва да помним това И, като всяка гласна, предназначена за него неизвестното (нашето х), гласните IN,д - коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Vieta означава: ако
(a +б) x - x 2 \u003dаб,
x 2 - (a +б) x + aб = 0,
x 1 \u003d a, x 2 \u003dб.
Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията чрез общи формули, написани с помощта на символи, Viet установява еднообразие в методите за решаване на уравнения. Символиката на Vieta обаче все още е далеч от съвременната си форма. Той не разпозна отрицателните числа и следователно, когато решаваше уравнения, разглеждаше само случаи, когато всички корени са положителни.
2. Методи за решаване на квадратни уравнения
Квадратичните уравнения са основата, върху която почива великолепното сграда на алгебрата. Квадратичните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентални уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (клас 8), до дипломирането.
Зареждане...
