Удоволствието от четенето x. Удоволствието от X. Увлекателна екскурзия в света на математиката от един от най-добрите учители в света - Стивън Строгац

Основният проблем на училищната математика е, че тя няма проблеми. Да, знам какво минава за задачи в класната стая: тези безвкусни, скучни упражнения. „Това е задачата. Ето как да го разрешите. Да, има такива на изпита. Отидете на домашни задачи 1-15 ". Какъв тъжен начин да научиш математика: да станеш обучен шимпанзе.

Пол Локхард

от есето "Плачещ математик"

Математиката е може би един от най-странните клонове на науката. Никой друг обект не съчетава толкова силно противоположности: от строгостта на формалните доказателства до способността да се „виждат“ определени конструкции. Математиката има както вътрешна, така и външна красота. Няма нищо по-забавно от решаването на математически задачи. И никой друг предмет не се преподава в училище толкова посредствен.

Как обикновено започва изучаването на математика в училище? С издаването на 7-8-годишни деца неразбираем набор от символи и определения и система от алгоритми за използване на тази глупост. Някои неща, например таблицата за умножение, се запомнят.

В следващите класове, базирани на тази система, на учениците ще бъде казано и им е накарано да запомнят набор от шамански ритуали, които им позволяват да решават измъчени проблеми. Ще има нови дефиниции, като „дясна фракция“ и „грешна фракция“, без най-малкото обяснение откъде е дошла и най-важното защо. Особено внимание ще се обърне на решаването на безполезни и измъчвани проблеми с думи, които имат същото отношение към реалността като самите алгоритми.

Като малък тест можете да предложите да запомните: колко пъти през живота си сте се нуждаели, за да определите правилна или грешна дроб?

Бях принуден да науча наизуст: квадратът на сумата от две числа е равен на сумата на техните квадрати, увеличени с двойния им произведение. Нямах представа какво може да означава това; когато не можех да си спомня тези думи, учителят ме пукаше по главата с книга, която обаче не стимулираше ни най-малко интелекта.

Бертран Ръсел

английски философ, логик и математик

В същото време учителите безмилостно ще потискат всяко несъгласие. Опитайте да напишете 5/2 вместо 2 1/2 (с което винаги искате да спорите: ако имам три ябълки, всяка разделена наполовина, тогава ще взема 5 половинки, а не 2 ябълки и 1 половина).

Тази тема може да продължи дълго време. Нещо повече, това вече е направено в есето на Пол Локхарт „Викът на математика“. Показва доста добре „Кой е виновен“. Но отговорът на втория важен въпрос - „Какво да правя“ не е даден.

Вариант на отговора на този въпрос е даден в прекрасна книга, наскоро преведена на руски език. Книгата се казва Удоволствието от х.

Удоволствие от х

Ако не можете да обясните нещо на шестгодишно дете, вие самите не го разбирате.

Алберт Айнщайн

Това е книгата, която трябва да се превърне в работен плот за всеки учител по какъвто и да е технически предмет, било то математика или информатика.

Авторът на това удоволствие, Стивън Строгац, е математик от световна класа, преподавател по приложна математика в университета Корнел в САЩ (един от водещите технически университети в света). И, съдейки по книгата, в този човек се съчетаха две прекрасни качества, които направиха това произведение бестселър: Стивън Строгац е силен математик и учител в един човек.

Можете да преподавате, но да не познавате добре предмета. Можете да познавате добре предмета, но да не можете да преподавате. Можете да направите и двете, но посредствени. Стивън Строгац е от различен тип: той знае и знае как да преподава правилно.

За какво е тази книга? Всъщност всичко, което по някакъв начин е свързано с математиката. На пръв поглед разделите на книгата са подбрани хаотично (Числа, Съотношения, Форми, Времена на промените, Многостранни данни, Граници са възможни), но докато четете, започвате да разбирате какво е искал да предаде авторът. Книгата е изградена върху изследвания. Изследване, проведено от автора заедно с читателя.

Обхватът на разглежданите задачи е огромен. Всеки човек, дори този, който познава математиката перфектно, ще научи нещо ново от него. В този случай се разглеждат както практически проблеми (например изчисляването на лихвите, получени от акции, инвестирани на фондовия пазар), така и абсолютно абстрактни.

Много задачи са дадени в исторически контекст. Бих искал да се спра тук отделно: сега почти всички учебници са изхвърлили историята на развитието на математиката. Междувременно само чрез разбиране на историческия контекст човек може да премине целия път - от най-простата аритметика до съвременните математически теории.

Нека си припомним например квадратни уравнения. Колко сълзи бяха проляти както от ученици, така и от учители в опит да запомнят заклинанието: x едно или две е равно на минус bh плюс или минус коренът на bh на квадрат минус четири a-tse и разделете всичко на две a.

Между другото, този начин на писане вече не е правилен според новите математически стандарти - ок. редактор.

Хората с добра памет и / или "в темата" все още могат да си спомнят теоремата на Vieta. Но вместо всичко това, Стивън Строгац дава елегантно обяснение, измислено от Ал-Хорезми, с помощта на което, без никакви формули, може лесно и естествено да се намери решение (макар и непълно: по онова време отрицателните числа все още не са били използвани навсякъде). И уверявам ви, всеки, който прочете това решение, ще го запомни завинаги. Първият път.

От глава в глава трудността на задачите се увеличава. Но разбирането не се губи, което е специалното удоволствие от четенето на „Удоволствието от х“. Читателят е потопен в атмосферата, която авторът му е създал, на практика, в един смел нов свят.

Не знам с какво се сравнява тази книга. Може би с известните лекции на Фейман по физика или с „Вероятно се шегувате, господин Фейман“. Но едно е сигурно: тази книга ще остави своя отпечатък в душите на тези, които я четат.

Един ден през май миналата година седях като асистент на тест по математика в 10 клас. С отегчение взех опцията „допълнителна“ работа от бюрото на учителя и започнах да я решавам. Работата беше извършена във формата на USE по математика, която завърших да уча през далечната 1989 г., след като завърших гимназия. Въпреки това, без много усилия, успях да реша 11 задачи в част Б- повече от мнозина, които са написали произведението този ден... Един от учениците + Юлия Соболева , бях изненадан да видя как реших и след това се обърна към мен:

— За първи път виждам асистент, който не е учител по математика, да седи и да решава. Простете ми, че попитах, но дойде ли ви по някакъв начин в живота ви по някакъв начин?

Въпросът за десетокласника не ме обърка. Факт е, че с математиката в училище имах любов без взаимност: в смисъл, че математиката ме обичаше и аз нея- не. Тоест математиката винаги ми беше лесна, нямаше проблеми, помня и всичките си учители по математика с топлина ... Но математиката не ми харесваше и това е! Така се случва. И след като постъпих в хуманитарен университет (по образование съм учител по история), изведнъж започнах да усещам остро липсата на математика. Започна да ми се струва, че ставам глупав със скокове. Следователно с 1- 2 курса, за да запълни тази празнота, тя (!) Взе и решава сборници от олимпиадни задачи, решава целия учебник по нов начин за финалния клас. И- о, чудо! Яснотата на ума и логичното мислене започнаха да се връщат малко по малко. И тогава, вече на 3-та година, прочетете книгата на Л. Карол "Логическата игра" (благодаря Сергей Михелсън), увлече се с логиката и необходимостта от правене на математика някак изчезна. И когато няколко години след дипломирането си започнах да преподавам икономика, математиката се утвърди в съзнанието ми.- проблемите трябва да бъдат решени по някакъв начин.
Защо написах всичко това? Този дълъг предговор има за цел да обясни защо с радост приех офертата + Наталия Шанина , асистент ръководител на проекти на издателството + Ман, Иванов и Фербер , вземете за рецензия книгата „Удоволствие от X“ (такава е словесната игра на думи)
Книгата ми хареса от първите страници: обичам я, когато се показва красота математика. И аз също обичам, когато моделите се намират в простото. Следователно, още в първата глава бях шокиран от откритието: ако сумираме нечетни числа последователно, тогава общо ще получим квадратите от числа, съответстващи на броя на нечетните числа, взети в един ред. Тогава- че нечетните числа образуват ъгли, от които можете да направите квадрат, като този, например:

Докато четях книгата, направих нови открития за себе си. Любител на различни алгоритми (стремя се да изведа алгоритъм дори в някои креативни и почти креативни процеси), не можех да не отбележа един прост алгоритъм за квадратиране на числа до 50. Толкова ми хареса, че дори го скицирах в бележник.

Дори четенето на онези раздели на книгата, които се оказаха трудни за мен (е, не помня математика в такъв обем вече) беше лесно. Не разбрах всичко, но и в този случай получих удоволствие от четенето. Защото авторът вижда във всичко конкретното приложение на математическите закони в заобикалящата действителност. Статистика, онкология, дори изборът на брачен партньор - навсякъде има следи от математика. И този цитат беше особено трогнат: „В дните преди съществуването на Google търсенията в мрежата бяха безнадеждни.“.

Имаше само две неща, които пречеха на четенето.

1. Е, не обичам да чета в електронен формат. Освен това, в случай на математика, веднага искате да решите / преброите нещо. Ако прочетох хартиена книга, щях да пиша точно в полетата и на безплатни страници - книги на издателството + Ман, Иванов и Фербер публикувани по такъв начин, че първоначално да приемат, че ще има читатели, които не само ще четат книгата, но и ще пишат в нея.
2. Книгата съдържа голям брой бележки. Издателят традиционно оставя в текста на книгата само връзки с кратка информация и прави разширени бележки под формата на крайни бележки. За мен този формат на четене е неудобен (а в електронен формат е двойно неудобен). Не обичам да скачам напред-назад по книгата. А четенето на бележките след прочитане на основния текст е нелогично. В крайна сметка просто ги погледнах с очите си. Въпреки че заслужават да бъдат част от основния текст: написано интересно, в същия стил като текста на книгата.

Бих препоръчал тази книга не само на любителите на математиката, но и на гимназисти и студенти. Да се \u200b\u200bдаде разбиране на някои неща, които изглеждат твърде абстрактни в училищни или университетски курсове. Е, и за учителите по математика, разбира се. Тук + Наталия Львова вече прочетено (рецензия). Много бих искал да препоръчам тази книга и + Диана Сонина но - уви и ах! - дъщерята върви по същия начин като майката. Математиката е лесна, тя е победител в общинската олимпиада и това, което правят с учителя си по математика със степени в научноизследователската работа (с което е печелила награди повече от веднъж на различни конференции), решавайки олимпиадни проблеми за ученици от гимназията, е трудно за моето разбиране. Но тя дори не иска да чуе за математиката. Трябва да- прави, но без удоволствие.А междувременно, отговаряйки на въпроса как математиката ми беше полезна в живота, освен някои прагматични неща, винаги имам и отговора: трябва да учиш добре в училище, включително, за да можеш помагат на собствените си деца да учат. Но дъщеря ми всъщност не се нуждае от моята помощ- справя се сама. Следователно въпросът остава отворен: защо при отлични начални условия има добър учител, добра способност към предмета, има деца, които не обичат математиката? Онзи ден обсъдих това с + Марина Курвиц , Готов съм да обсъдя това с други "познати математици" -+ Юри Курвиц и + Людмила Рождественская ... Каква е причината? И нкак можем да променим ситуацията? Тук това беше решено в моята младост. Но все още ме преследва мисълта, че като не съм обичал математиката преди, съм пропуснал някои възможности в живота си ...

Купете си книга за озона \u003e\u003e\u003e
Купете си книга в Лабиринт \u003e\u003e\u003e
Информация за книгата на уебсайта на издателя \u003e\u003e\u003e

Колко полезни са числата за изучаване на света около вас, каква е красотата на геометрията, колко елегантни са интегралните числа и статистиката е важна? За всичко това Стивън Строгац говори в книгата си „Удоволствието от X“. Авторът обяснява основните математически идеи по прост и елегантен начин, с примери, които всеки може да разбере. сайтът публикува една от главите на книга, публикувана от Ман, Иванов и Фербер.

Статистиката изведнъж стана супер модерна. С появата на Интернет, електронна търговия, социални мрежи, проект за дешифриране на човешкия геном, както и във връзка с развитието на дигиталната култура като цяло, светът започна да се дави в данни. Маркетолозите изучават нашите вкусове и навици. Разузнавателните служби събират информация за местонахождението ни, имейли и телефонни обаждания. Спортните статистици жонглират с цифри, когато решават кои играчи да купят, кого да вербуват и кой да играят. Всеки се стреми да комбинира точките в графика и да открива модели в разхвърлян сбор от данни.

Не е изненадващо, че тези тенденции се отразяват в обучението. „Нека се обърнем към статистиката“, предупреждава Грег Манкиу, икономист от Харвардския университет в своята колона „Ню Йорк Таймс“.

„Учебната програма по математика в гимназията отделя твърде много време на традиционни теми като евклидова геометрия и тригонометрия. Тези умствени упражнения, полезни за обикновения човек, обаче са малко полезни в ежедневието. Би било много по-полезно учениците да научат повече за теорията на вероятностите и статистиката. " Дейвид Брукс стига още по-далеч. В статията си за дисциплините, които заслужават внимание за достойно образование, той пише: „Вземете статистически данни. Ще видите, оказва се, че знанието за това какво е стандартно отклонение ще ви бъде много полезно в живота. "

Вероятно е, но също така е добре да разберете какво е разпределението. Това е първото нещо, за което възнамерявам да говоря. И бих искал да ви обърна внимание, защото това е един от основните уроци на статистиката: нещата изглеждат безнадеждно случайни и непредсказуеми, когато се разглеждат отделно, но като цяло те разкриват модел и предсказуемост.

Може би сте виждали този принцип демонстриран в научен музей (ако не, видеоклипове могат да бъдат намерени в Интернет). Типичен експонат е приспособление, наречено табло Galton, което донякъде напомня на пинбол машина, само че няма плавници. Вътре в него на равни интервали има дори редове щифтове.

Борд на Галтън

Опитът започва със стотици топчета, изстреляни в горната част на дъската на Галтън. Когато падат, те се сблъскват с щифтове и с еднаква вероятност отскачат надясно и след това наляво и след това се разстилат в дъното на дъската, попадайки в отделения със същата ширина. Височината на колоната с топки показва колко вероятно е топката на дадено място. Повечето топки са разположени приблизително в средата, има по-малко от тях отстрани и още по-малко около краищата.

Като цяло картината е изключително предсказуема: топките винаги образуват звънчево разпределение, въпреки че е невъзможно да се предвиди къде ще се окаже всяка отделна топка.

Как отделните произшествия се превръщат в общи модели? Но така работи произволността. Повечето от топките са се натрупали в средната колона, защото преди да се търкалят надолу, много от тях ще направят приблизително еднакъв брой скокове надясно и наляво и в резултат ще бъдат някъде по средата. Няколко самотни топки, разположени по краищата, образуват опашки за разпределение - това са онези топки, които при сблъсъка с щифтовете винаги са отскачали в една посока. Такива отскоци са малко вероятни, поради което има толкова малко топки около краищата.

Точно както местоположението на всяка топка се определя от сумата на много случайни събития, много явления в този свят са резултат от много малки обстоятелства и също се подчиняват на камбановидна крива. Застрахователните компании работят по този принцип. Те могат точно да посочат броя на своите клиенти, които умират всяка година. Те обаче не знаят кой точно ще има късмет този път.

Или вземете например височината на човек. Това зависи от безброй инциденти, включващи генетика, биохимия, хранене и околната среда. Следователно е много вероятно, когато се вземат заедно, височината на възрастните мъже и жени ще покаже камбановидна крива.

В блог, озаглавен „False Data People Report About Them Them In Internet“, услугата за статистика на запознанствата на OkCupid наскоро публикува графика на растежа на своите клиенти, или по-скоро стойностите, които те цитират. Установено е, че показателите за растеж и на двата пола, както се очаква, образуват камбановидна крива. Изненадващо обаче и двете разпределения бяха изместени с около два инча вдясно от очакваните стойности.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М .: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

Така че или клиентите, анкетирани от OkCupid, са над средното ниво или добавят няколко сантиметра към ръста си, когато се описват онлайн.

Идеализираната версия на тези камбановидни криви е това, което математиците наричат \u200b\u200bнормално разпределение. Това е една от най-важните концепции в статистиката, която има теоретична основа. Може да се покаже, че нормалното разпределение възниква, когато се добавят голям брой малки случайни фактори, като всеки от тях действа независимо от останалите. И много неща се случват по този начин.

Но не всички. И това е втората точка, на която бих искал да ви обърна внимание. Нормалното разпределение не е толкова повсеместно, колкото изглежда. В продължение на стотици години, и особено през последните няколко десетилетия, учени и статистици отбелязват съществуването на много явления, отклоняващи се от тази крива и следвайки своя собствен график. Любопитно е, че подобни видове разпределения практически не се споменават в учебниците по елементарна статистика и ако се появят, те обикновено се разглеждат като някаква патология.

Това е странно. Ще се опитам да обясня, че много от феномените на съвременния живот придобиват по-голямо значение, когато се разберат тези "патологични" разпределения. Това е новата нормалност. Вземете например разпределението на градските размери в САЩ. Вместо да се натрупват около някаква средна крива с форма на камбана, по-голямата част от градовете са малки и следователно се групират в лявата част на графиката.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М .: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

И колкото по-голямо е населението на града, толкова по-малко се срещат такива градове. С други думи, съвкупното разпределение ще бъде по-скоро Г-образна, отколкото камбановидна крива.

И това не е изненадващо. Всички знаят, че има много по-малко мегаполиси от малките градове. Макар и не толкова очевидни, размерите на градовете следват приятно просто разпределение - когато се гледат в логаритмичен мащаб.

Нека приемем, че разликата между два града е една и съща, ако населението им се различава с еднакъв брой пъти (точно както всеки два клавиша на пиано, разположени на една октава, се различават наполовина по честота). И нека направим същото по вертикалната ос.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М .: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

Данните сега са нанесени на крива, която е почти перфектна права линия. Въз основа на свойствата на логаритмите е лесно да се заключи, че оригиналната L-образна крива е степенна зависимост, която се описва с функция от формата

където x е населението на града, y е броят на градовете с този размер, c е константа, а степента a (експонента) определя отрицателния наклон на правата линия.

Разпределенията на мощността имат някои свойства, които са нелогични от гледна точка на традиционната статистика. Например, за разлика от нормалното разпределение, техните режими, медиани и средства не съвпадат поради изкривените асиметрични L-криви.

Президентът Буш се възползва значително от това, като обяви през 2003 г., че намаленията на данъците спестяват на всяко семейство средно 1586 долара. Макар че това е математически вярно, тук той се възползва от средното приспадане, което крие огромни удръжки от стотици хиляди долари, получени от 0,1% от най-богатото население на страната. Известно е, че „опашката“ от дясната страна на разпределението на дохода следва закон на властта и в тази ситуация използването на средната стойност е подвеждащо, тъй като е далеч от реалната му стойност. Всъщност повечето семейства са получили по-малко от 650 долара. При това разпределение медианата е значително по-малка от средната стойност.

Този пример демонстрира най-важното свойство на степенно-разпределителните закони: те имат "тежки опашки" в сравнение с най-малко малките "течащи опашки" на нормалното разпределение. Такива големи опашки, макар и редки, са по-чести при разпределението на данните, отколкото редовните криволичещи криволици.

В Черния понеделник, 19 октомври 1987 г., индустриалната средна стойност на Dow Jones е спаднала с 22%. В сравнение с обичайното ниво на волатилност на фондовия пазар, тази есен беше повече от двадесет стандартни отклонения. Според традиционната статистика (която използва нормално разпределение), подобно събитие е почти невъзможно: вероятността му е по-малка от едно събитие на 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10 до 50-та степен). Това обаче се случи - тъй като колебанията в цените на фондовия пазар не съответстваха на нормалното разпределение.

Разпределенията с „тежка опашка“ са по-подходящи за тяхното описание. Това се случва със земетресения, пожари и наводнения, което затруднява застрахователните компании да управляват риска.

Същият математически модел описва смъртните случаи от войни и терористични атаки, както и други, много по-мирни неща, като например броя на думите в романа или броя на сексуалните партньори на човек.

Въпреки че прилагателните, използвани за описание на дългите опашки, ги карат да изглеждат по-малко облагодетелствани, „опашатите“ разпределения гордо носят опашките си. Смел, тежък и дълъг? Да, така е. Но в такъв случай покажете ми кое е нормално?

Тази книга е добре допълнена от:

Кванти

Скот Патерсън

Мозъчен

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на фондовия пазар

Джеймс Уетерал

Радостта от х

Обиколка с математика от един до безкрайност

Стивън Строгац

Удоволствието от х

Вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Информация от издателя

Публикувано за първи път на руски език

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c / o Brockman, Inc.

Строгац, П.

Удоволствието от х... Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света / Стивън Строгац; на. от английски. - М .: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Тази книга има потенциал да промени коренно начина, по който мислите за математиката. Състои се от кратки глави, във всяка от които ще откриете нещо ново. Ще научите колко полезни са числата за изучаване на света около вас, ще разберете каква е красотата на геометрията, ще се запознаете с грацията на интегралното смятане, ще видите важността на статистиката и ще влезете в контакт с безкрайността. Авторът обяснява основните математически идеи по прост и елегантен начин, с блестящи примери, които всеки може да разбере.

Всички права запазени.

Никоя част от тази книга не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма без писменото разрешение на притежателите на авторските права.

Правна подкрепа на издателството се осигурява от адвокатска кантора "Вегас-Лекс"

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, издание на руски, дизайн. LLC "Mann, Ivanov and Ferber", 2014

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник), е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори ентусиазирано за последните постижения в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене на колене, което силно го разстройва. Той се оплаква, че тези странни математически символи не само се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнася.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма представа какво общо правят математиците или какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самото начало, буквално 1 + 1 \u003d 2, и да се ровя в математиката, доколкото може.

Въпреки че тази идея изглежда луда, точно това ще се опитам да приложа в тази книга. Ще ви преведа през всички основни области на науката, от аритметика до напреднала математика, така че тези, които искат втори шанс, най-накрая да се възползват от него. И този път не е нужно да сядате на бюрото си. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но това ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова вълнуващо за тези, които я разбират.

Ще проучим как шлемът на Майкъл Джордан може да помогне да се обяснят основите на смятането. Ще ви покажа един прост и удивителен начин да разберете основната теорема на Евклидовата геометрия - теоремата на Питагор. Ще се опитаме да стигнем до самата същност на някои от загадките на живота, големи и малки: дали Джей Симпсън е убил жена си; как да изместим матрака, така че да издържи възможно най-дълго; колко партньори трябва да бъдат сменени, преди да се оженят - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоида на гърба на зебра, да чуете ехото на теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също така да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютър или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да оцелеем в плашещите колебания на фондовия пазар.

Поредица от 15 статии под общото заглавие „Основи на математиката“ се появи онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикуването им бяха изсипани писма и коментари от читатели от всички възрасти, включително много ученици и учители. Имаше и просто любопитни хора, които по една или друга причина „се заблудиха“ в разбирането на математическата наука; сега усещаха, че са пропуснали нещо. относнои бих искал да опитам отново. Бях особено доволна от благодарността на родителите ми за факта, че с моя помощ те успяха да обяснят математиката на децата си и те самите започнаха да я разбират по-добре. Изглеждаше, че дори моите колеги и другари, пламенни почитатели на тази наука, се радваха да четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха да предлагат всякакви препоръки за подобряване на моето въображение.

Въпреки широко разпространеното вярване, има явен интерес към математиката в обществото, въпреки че това явление не е получило малко внимание. Това чуваме само за страха от математиката и въпреки това мнозина с удоволствие биха се опитали да го разберат по-добре. И щом това се случи, вече ще е трудно да ги откъснем.

Тази книга ще ви запознае с някои от най-предизвикателните и авангардни идеи в света на математиката. Главите са малки, лесни за четене и не са особено зависими една от друга. Сред тях има такива, включени в първата поредица статии в New York Times. Така че веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да се заемете със следващата глава. Ако искате да разберете по-подробно въпрос, който ви интересува, тогава в края на книгата има бележки с допълнителна информация и препоръки, какво още можете да прочетете за това.

За удобство на читателите, които предпочитат стъпка по стъпка, аз разделих материала на шест части според традиционния ред на учебните теми.

Част I "Числа" започва нашето пътуване с аритметика в детската градина и началното училище. Той показва колко полезни са числата и колко магически ефективни са те при описването на света около вас.

Част II „Връзки“ насочва вниманието от самите числа към взаимоотношенията между тях. Тези идеи са в основата на алгебрата и са първите инструменти за описване на това как едното влияе върху другото, показвайки причинно-следствена връзка на различни неща: търсене и предлагане, стимул и реакция - накратко, всякакви връзки, които правят света толкова многостранен и богат. ...

Част III „Фигури“ разказва не за числа и символи, а за фигури и пространство - областта на геометрията и тригонометрията. Тези теми, заедно с описанието на всички наблюдаеми обекти чрез форми, с помощта на логически разсъждения и доказателства, издигат математиката на ново ниво на точност.

В част IV, „Време за промяна“, ще разгледаме смятането, най-впечатляващият и многостранен клон на математиката. Калкулацията дава възможност да се предскаже траекторията на планетарното движение, приливите и отливите и дава възможност да се разберат и опишат всички периодично променящи се процеси и явления във Вселената и вътре в нас. Важно място в тази част е посветено на изучаването на безкрайността, чието умиротворяване беше пробив, който позволи на компютрите да работят. Изчисленията са помогнали за решаването на много проблеми, възникнали в древния свят и в крайна сметка това е довело до революция в науката и съвременния свят.

Част V, Данни с много лица, се занимава с вероятност, статистика, мрежи и обработка на данни - това са все още относително млади области, генерирани от не винаги подредените аспекти на нашия живот, като възможност и късмет, несигурност, риск, нестабилност, случайност, взаимозависимост Използвайки правилната математика и типове данни, можем да се научим да откриваме модели в поток от случайност.

В края на нашето пътешествие в Част VI „Границите на възможното“ ще се доближим до границите на математическите знания, до граничния регион между това, което вече е известно и това, което все още е неуловимо и непознато. Ще преминем отново през темите в вече познатия ни ред: числа, съотношения, форми, промени и безкрайност, но в същото време ще разгледаме всяка от тях по-задълбочено, в съвременното й въплъщение.

Радостта от х

Обиколка с математика от един до безкрайност

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c / o Brockman, Inc.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, издание на руски, дизайн. LLC "Mann, Ivanov and Ferber", 2014

Всички права запазени. Никоя част от електронната версия на тази книга не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или по какъвто и да е начин, включително публикуване в Интернет и корпоративни мрежи, за частна и обществена употреба без писменото разрешение на притежателя на авторските права.

Правна подкрепа на издателството се осигурява от адвокатска кантора "Вегас-Лекс"

* * *

Тази книга е добре допълнена от:

Кванти

Скот Патерсън

Мозъчен

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на фондовия пазар

Джеймс Уетерал

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори ентусиазирано за последните постижения в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което силно го разстройва. Той се оплаква, че тези странни математически символи не само се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма представа какво общо правят математиците или какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самото начало, буквално 1 + 1 \u003d 2, и да се ровя в математиката, доколкото може.

Въпреки че тази идея изглежда луда, точно това ще се опитам да приложа в тази книга. Ще ви преведа през всички основни области на науката, от аритметика до напреднала математика, така че тези, които искат втори шанс, най-накрая да се възползват от него. И този път не е нужно да сядате на бюрото си. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но това ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова вълнуващо за тези, които я разбират.

За да изясним какво имам предвид под живота на числата и тяхното поведение, което не можем да контролираме, нека се върнем в хотел Shaggy Paws. Да предположим, че Хъмфри тъкмо е щял да предаде поръчката, но тогава пингвините от друг номер неочаквано му се обадиха и също поискаха същото количество риба. Колко пъти Хъмфри трябва да извика думата „риба“, след като получи две заповеди? Ако не знаеше нищо за цифрите, щеше да трябва да вика толкова пъти, колкото пингвини има и в двете стаи. Или, използвайки цифри, би могъл да обясни на готвача, че му трябват шест риби за едното число и шест за другото. Но това, от което той наистина се нуждае, е нова концепция - допълнение. След като го овладее, той с гордост ще каже, че се нуждае от шест плюс шест (или, ако е позер, дванадесет) риби.

Това е същият творчески процес, както когато за първи път измислихме числа. Точно както числата улесняват преброяването, отколкото могат да бъдат изброени едно по едно, добавянето улеснява изчисляването на всяка сума. В същото време този, който прави броенето, се развива като математик. От научна гледна точка тази мисъл може да бъде формулирана по следния начин: използването на правилните абстракции води до по-дълбоко вникване в същността на въпроса и по-голяма сила при решаването му.

Скоро може би дори Хъмфри ще осъзнае, че сега винаги може да брои.

Въпреки такава безкрайна перспектива, нашето творчество винаги има някакви ограничения. Можем да решим какво имаме предвид с 6 и +, но след като го направим, резултатите от изрази като 6 + 6 са извън нашия контрол. Тук логиката няма да ни остави избор. В този смисъл математиката винаги включва като изобретение така и откритие: ние ние измисляме концепция, но ние отваряме техните последици. Както ще стане ясно в следващите глави, в математиката нашата свобода се крие в способността да задаваме въпроси и упорито да търсим отговори на тях, но без да ги измисляме сами.

2. Каменна аритметика

Както всяко явление в живота, аритметиката има две страни: формална и забавна (или игрива).

Изучихме официалната част в училище. Обясниха ни как да работим с колони с числа, като ги добавяме и изваждаме, как да ги лопатим при извършване на изчисления в електронни таблици при попълване на данъчни декларации и изготвяне на годишни отчети. Този аспект на аритметиката изглежда за мнозина важен от практическа гледна точка, но напълно мрачен.

Забавната страна на аритметиката може да се намери само в процеса на изучаване на висша математика. {3} ... Това обаче е толкова естествено, колкото и любопитството на детето. {4}.

В есето „Плачът на математика“ Пол Локхарт предлага да се изследват числата с по-конкретни от обичайните примери: той ни моли да ги представим под формата на множество камъни. Например числото 6 съответства на следния набор от камъчета:

Тук едва ли ще видите нещо необичайно. Начинът, по който е. Докато не започнем да манипулираме числата, те изглеждат приблизително еднакви. Играта започва, когато получим задачата.

Например, нека разгледаме комплекти, които имат 1 до 10 камъка и се опитайте да добавите квадрати от тях. Това може да се направи само с два комплекта от 4 и 9 камъка, тъй като 4 \u003d 2 × 2 и 9 \u003d 3 × 3. Получаваме тези числа чрез квадратиране на друго число (т.е. чрез подреждане на камъните в квадрат).

Тук има проблем с по-голям брой решения: трябва да разберете от кои набори ще се получи правоъгълникът, ако подредите камъни в два реда с еднакъв брой елементи. Тук са подходящи комплекти от 2, 4, 6, 8 или 10 камъка; числото трябва да е четно. Ако се опитаме да подредим останалите комплекти с нечетен брой камъни в два реда, тогава неизменно ще имаме допълнителен камък.

Но всичко не е загубено за тези неудобни числа! Ако вземем два такива набора, тогава допълнителните елементи ще намерят чифт и сумата ще бъде четна: нечетно число + нечетно число \u003d четно число.

Ако разширим тези правила до числа след 10 и приемем, че броят на редовете в правоъгълник може да бъде повече от два, тогава някои нечетни числа ще позволят да се добавят такива правоъгълници. Например числото 15 може да представлява правоъгълник 3 × 5.

Следователно, въпреки че 15 несъмнено е нечетно число, то е съставно и може да бъде представено като три реда от по пет камъка. По същия начин всеки запис в таблицата за умножение дава своя собствена правоъгълна група камъчета.

Но някои числа като 2, 3, 5 и 7 са напълно безнадеждни. От тях не може да се изложи нищо, освен как да се подредят под формата на обикновена линия (един ред). Тези странни упорити са известни прости.

Така виждаме, че числата могат да имат странни структури, които им придават определен характер. Но за да представим целия спектър на тяхното поведение, е необходимо да се дистанцираме от отделни числа и да наблюдаваме какво се случва по време на тяхното взаимодействие.

Например, вместо да добавяте само две нечетни числа, добавете всички възможни последователности от нечетни числа, започвайки с 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Изненадващо, тези суми винаги се оказват идеални квадрати. (Вече казахме, че 4 и 9 могат да бъдат представени като квадрати, но за 16 \u003d 4 × 4 и 25 \u003d 5 × 5 това също е вярно.) Бързо изчисление показва, че това правило важи и за по-големи нечетни числа и очевидно клони към безкрайност. Но каква е връзката между нечетните числа с техните „допълнителни“ камъни и класически симетричните числа, които образуват квадрати? Като поставим камъчетата правилно, можем да го направим очевидно, което е отличителен белег на изящното доказателство. {5}

Ключът към това е наблюдението, че нечетните числа могат да бъдат представени като равностранни ъгли, чието последователно наслагване образува квадрат!

Подобна линия на разсъждения е представена в друга наскоро издадена книга. Очарователният роман на Йоко Огава "Икономката и професорът" следва проницателна, но необразована млада жена и нейния десетгодишен син. Жена е наета да се грижи за възрастен математик, който поради нараняване на главата запазва в краткосрочната си памет само информация за последните 80 минути от живота си. Изгубен в настоящето, сам в скучната си вила, нямащ нищо друго освен номера, професорът се опитва да общува с икономката по единствения познат начин: като пита за размера на обувките или датата на раждане и прави малки разговори с нея за разходите си. Професорът също така харесва сина на икономката, когото нарича Рут (Корен), тъй като момчето има плоска глава отгоре и това му напомня за обозначението в математиката на квадратния корен √.

Един ден професорът задава на момчето прост проблем - да намери сумата на всички числа от 1 до 10. След като Рут внимателно събира всички числа и се връща с отговора (55), професорът го моли да потърси по-лесен начин. Може ли да намери отговора без обикновено добавяне на числа? Рут рита един стол и крещи: „Това не е честно!“

Малко по малко икономката също е въвлечена в света на числата и самата тя се опитва тайно да реши този проблем. „Не разбирам защо толкова се увлякох с детски проблем, който няма практическа полза“, казва тя. „Отначало исках да зарадвам професора, но постепенно тази дейност се превърна в битка между мен и цифрите. Когато се събудих сутринта, уравнението вече ме чакаше:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,