Kvadratne jednadžbe x kvadratne. Kvadratne jednadžbe. Rješavanje cjelovitih kvadratnih jednadžbi. Koncept diskriminatornog

Kvadratne jednadžbe. Diskriminatorno. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji "nisu baš ..."
A za one koji su "vrlo ujednačeni ...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Što je kvadratna jednadžba? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednadžba ključna riječ je "kvadrat". To znači da je u jednadžbi nužno mora biti x kvadrat. Pored njega, jednadžba može (ili ne mora biti!) Samo x (u prvoj snazi) i samo broj (slobodan član). I ne bi trebalo biti x-a do stupnja većeg od dva.

Matematički gledano, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

Evo a, b i c - neki brojevi. b i c - apsolutno bilo koji, ali i- bilo šta drugo osim nule. Na primjer:

Evo i =1; b = 3; c = -4

Evo i =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo i =-3; b = 6; c = -18

Pa, imaš ideju ...

Ove kvadratne jednadžbe s lijeve strane sadrže puni set članova. X kvadrat s koeficijentom i,x na prvu snagu s koeficijentom b i slobodan termin sa.

Takve kvadratne jednadžbe se nazivaju pun.

Šta ako b \u003d 0, šta dobijamo? Imamo x će nestati u prvom stepenu. To se događa množenjem sa nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

-x 2 + 4x \u003d 0

Itd. A ako su oba koeficijenta, b i c jednaki su nuli, još je jednostavnije:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takve jednadžbe, gdje nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe. Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je kvadrat x prisutan u svim jednadžbama.

Usput zašto i ne može biti nula? A vi umjesto toga i nula.) X u kvadratu će nestati! Jednadžba će postati linearna. A odlučuje se na potpuno drugačiji način ...

Sve su to glavne vrste kvadratnih jednadžbi. Kompletno i nepotpuno.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje cjelovitih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednadžbe je lako riješiti. Formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi se zadana jednadžba mora svesti na standardni oblik, tj. pogledati:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate napraviti prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, i, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Pozvan je izraz pod znakom korijena diskriminirajući... Ali o njemu - ispod. Kao što vidite, za pronalazak x koristimo samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamjena sa tvojim znacima! Na primjer, u jednadžbi:

i =1; b = 3; c \u003d -4. Tako zapisujemo:

Primjer je gotovo riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. I šta misliš da ne možeš pogriješiti? Pa, da, kako ...

Najčešće greške su zbrka sa značenjskim znakovima. a, b i c... Umjesto toga, ne sa njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), Već sa zamjenom negativnih vrijednosti u formuli za izračunavanje korijena. Ovdje se sprema detaljna notacija formule s određenim brojevima. Ako postoje računski problemi, učiniti!

Pretpostavimo da trebate riješiti ovaj primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da rijetko dobijete odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će 30 sekundi da upišete dodatni redak. I broj grešaka naglo će se smanjiti... Dakle, pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Izgleda nevjerojatno teško tako pažljivo slikati. Ali to samo izgleda. Probaj. Pa, ili odaberite. Koje je bolje, brzo ili tačno? Osim toga, učiniću vas srećnom. Nakon nekog vremena nećete morati sve pažljivo slikati. To će se ispraviti sam od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike opisane u nastavku. Ovaj zli primjer sa hrpom minusa možete riješiti lako i bez grešaka!

Ali, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Jeste li saznali?) Da! to nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Također se mogu riješiti pomoću opće formule. Samo trebate ispravno shvatiti šta je ovdje ravnopravno a, b i c.

Jeste li shvatili? U prvom primjeru a \u003d 1; b \u003d -4; i c? Uopšte ga nema! Pa da, tako je. U matematici to znači c \u003d 0 ! To je sve. Zamijenite nulu u formuli umjesto c, i uspjet ćemo. Isto je i sa drugim primjerom. Ovdje nemamo samo nulu od, i b !

No, nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se puno lakše riješiti. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Šta tamo možete raditi na levoj strani? Možete staviti x iz zagrada! Izvadimo ga.

I šta od toga? A činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je kad bilo koji od faktora jednak nuli! Ne verujete mi? Pa, onda razmislite o dva ne-nulta broja koja će, pomnožena, dati nulu!
Ne radi? To je to ...
Stoga sa pouzdanjem možemo napisati: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Sve. To će biti korijeni naše jednadžbe. Obje odgovaraju. Zamjenom bilo kojeg od njih u originalnoj jednadžbi dobivamo ispravan identitet 0 \u003d 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo lakše nego korištenjem opće formule. Usput ću napomenuti koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je ravnodušan. Prikladno je zapisati redom, x 1 - što je manje, i x 2 - šta je više.

Druga jednadžba se također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 na desnu stranu. Dobijamo:

Ostaje izdvojiti korijen iz 9, i to je to. Ispada:

Takođe dva korena . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Tako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili postavljanjem x u zagrade ili jednostavnim prenošenjem broja u desnu stranu i ekstrakcijom korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što u prvom slučaju morate izdvojiti korijen iz x, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta staviti iz zagrada ...

Diskriminatorno. Diskriminatorna formula.

Čarobna reč diskriminirajući ! Rijedak srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz "odlučivanje kroz diskriminirača" je uvjerljiv i uvjerljiv. Jer nema potrebe čekati prljave trikove od diskriminiranog! Jednostavna je i bez problema.) Sjećam se najopćenitije formule za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz ispod znaka korijena naziva se diskriminirajući. Obično je diskriminantno označeno slovom D... Diskriminatorna formula:

D \u003d b 2 - 4ac

I šta je tako značajno u ovom izrazu? Zašto je zaslužila posebno ime? Šta značenje diskriminira? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli oni posebno ne imenuju ... Slova i slova.

Poenta je u tome. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule moguće je samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da iz nje možete izdvojiti korijen. Dobar korijen se izdvaja, ili loš - još jedno pitanje. Važno je šta se iz principa izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Pošto dodavanje-oduzimanje nule u brojaču ništa ne mijenja. Strogo govoreći, to nije jedan korijen, ali dve identične... Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je razgovarati jedno rešenje.

3. Diskriminator je negativan. Nijedan kvadratni korijen nije uzet iz negativnog broja. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Iskreno, s jednostavnim rješenjem kvadratnih jednadžbi koncept diskriminiranog nije posebno potreban. Vrijednosti koeficijenata zamjenjujemo formulom, ali računamo. Eto, sve ispada samo po sebi, i dva korijena, i jedan, a ne jedan. Međutim, pri rješavanju složenijih zadataka, bez znanja značenje i diskriminatorna formula nije dovoljno. Posebno - u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su aerobatika na državnom ispitu i ispitu!)

Dakle, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminaciju koga ste zapamtili. Ili ste naučili, što je takođe dobro.) Znati kako se pravilno prepoznati a, b i c... Znate kako pažljivo zamijeni ih u korijenskoj formuli i pažljivo pročitajte rezultat. Shvaćate da je ključna riječ ovdje pažljivo?

Sada, uzmite u obzir najbolje prakse koje će drastično smanjiti pogreške. Oni koji su posledica nepažnje ... Za koje je to onda bolno i uvredljivo ...

Prvi prijem ... Nemojte biti lijeni prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu kako biste je doveli u standardni oblik. Šta to znači?
Recimo, nakon bilo kakvih transformacija, dobili ste sljedeću jednadžbu:

Ne žurite sa pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete miješati šanse. a, b i c. Napravite primer pravilno. Prvo je X kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodan pojam. Volim ovo:

Opet, ne žurite! Minus ispred x u kvadratu može vas učiniti jako tužnim. To je lako zaboraviti ... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je podučeno u prethodnoj temi! Morate pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminatorno i upotpuniti primjer. Uradi sam. Trebali biste imati korijenje 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijenje! Po Vieta-ovom teoremu. Ne budite uznemireni, sve ću objasniti! Provera zadnja stvar jednadžba Oni. ona po kojoj smo zapisali formulu za korijene. Ako je (kao u ovom primjeru) koeficijent a \u003d 1, provjera korijena je laka. Dovoljno je da ih množimo. Trebali biste dobiti besplatnog člana, tj. u našem slučaju -2. Obrati pažnju, ne 2, već -2! Besplatan član sa mojim znakom ... Ako to nije uspjelo, onda je negdje već sjebalo. Potražite grešku.

Ako vam uspije, morate presaviti korijenje. Posljednja i posljednja provjera. Trebali biste dobiti koeficijent b od suprotno poznat. U našem slučaju -1 + 2 \u003d +1. I koeficijent bkoji je prije x -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta je što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x kvadrat čist, s koeficijentom a \u003d 1. Ali barem provjerite u takvim jednadžbama! Bit će manje grešaka.

Prijem treći ... Ako vaša jednadžba sadrži koeficijente frakcije, riješite se udjela! Pomnožite jednadžbu sa zajedničkim nazivnikom kako je opisano u lekciji Kako riješiti jednadžbe? Identične transformacije. Pri radu s frakcijama iz nekih razloga se greške pojavljuju u ...

Usput sam obećao da ću zli primjerak pojednostaviti sa hrpom kontra. Nema na čemu! Evo ga.

Da se ne zbunimo u minusima, jednadžbu množimo s -1. Dobijamo:

To je sve! Zadovoljstvo je odlučivati!

Dakle, da sumiram temu.

Praktični savet:

1. Prije rješavanja, dovedemo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, izgradimo je tačno.

2. Ako je ispred x u kvadratu negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti frakcijski, frakcije eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je kvadrat kvadrata čist, a koeficijent na njemu je jednak, rješenje se može lako provjeriti Vietaovim teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednadžbe:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Odgovori (u neredu):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1,2 \u003d2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - bilo koji broj

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

nema rešenja

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Da li se sve zajedno uklapa? Fino! Kvadratne jednadžbe nisu vaša glavobolja. Prva tri su radila, ali ostali nisu? Tada problem nije sa kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednadžbi. Šetajte vezom, korisno je.

Ne baš baš vježbati? Ili to uopće ne djeluje? Tada će vam pomoći odeljak 555. Tamo su svi ovi primeri sortirani na komade. Pokazano glavni greške u rješenju. Priča se, naravno, i o upotrebi identičnih transformacija u rješenju različitih jednadžbi. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ova stranica ...

Uzgred, imam još par zanimljivih web lokacija za vas.)

Možete trenirati primjere rješavanja i saznati svoju razinu. Ispitivanje trenutne validacije Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i derivatima.

Kvadratna jednadžba je jednačina koja izgleda ax 2 + dx + c \u003d 0... Ima značenje a, u i od bilo koji brojevi, dok i nije nula.

Sve kvadratne jednadžbe podijeljene su u nekoliko vrsta, naime:

Jednadžbe sa samo jednim korijenom.
-Ekvivacije sa dva različita korijena.
-Izgovori u kojima uopće nema korijena.

Ovo razlikuje linearne jednadžbe u kojima je korijen uvijek isti, od kvadratnih. Da bi shvatili koliko je korijena u izrazu potrebno Diskriminacija kvadratne jednadžbe.

Recimo da je naša jednadžba ax 2 + dx + c \u003d 0. Znači kvadratna diskriminacija -

D \u003d b 2 - 4 ac

I toga se mora zauvijek pamtiti. Pomoću ove jednadžbe određujemo broj korijena u kvadratnoj jednadžbi. I to radimo na sledeći način:

Kad je D manji od nule, u jednadžbi nema korijena.
- Kad je D jednak nuli, postoji samo jedan korijen.
- Kad je D veći od nule, u jednadžbi postoje dva korijena.
Zapamtite da diskriminator pokazuje koliko korijena ima u jednadžbi bez promjene znakova.

Razmotrimo radi jasnoće:

Morate saznati koliko korijena ima u datoj kvadratnoj jednačini.

1) x 2 - 8x + 12 \u003d 0
2) 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0
3) x 2 -6x + 9 \u003d 0

Vrijednosti unosimo u prvu jednadžbu, smatramo diskriminirajućom.
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12
D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16
Diskriminirajući znakom plus znači da u ovoj jednakosti postoje dva korijena.

Učinite isto s drugom jednadžbom
a \u003d 1, b \u003d 3, c \u003d 7
D \u003d 3 2 - 4 * 5 * 7 \u003d 9 - 140 \u003d - 131
Vrijednost je minus, što znači da nema korijena u toj jednakosti.

Sljedeću jednadžbu proširujemo analogijom.
a \u003d 1, b \u003d -6, c \u003d 9
D \u003d (-6) 2 - 4 * 1 * 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0
kao posljedica toga imamo jedan korijen u jednadžbi.

Važno je da smo u svaku jednadžbu zapisali koeficijente. To, naravno, nije previše dugotrajan proces, ali pomoglo nam je da se ne zbunimo i spriječimo pogreške. Ako vrlo često rješavate takve jednadžbe, možete mentalno izraditi proračune i unaprijed znati koliko korijena ima jednačina.

Pogledajmo još jedan primjer:

1) x 2 - 2x - 3 \u003d 0
2) 15 - 2x - x 2 \u003d 0
3) x 2 + 12x + 36 \u003d 0

Postavljamo prvo
a \u003d 1, b \u003d -2, c \u003d -3
D \u003d (- 2) 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 16, što je veće od nule, znači dva korijena, prikazaćemo ih
x 1 \u003d 2+? 16/2 * 1 \u003d 3, x 2 \u003d 2-? 16/2 * 1 \u003d -1.

Izložimo drugi
a \u003d -1, b \u003d -2, c \u003d 15
D \u003d (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 \u003d 64, što je veće od nule i takođe ima dva korijena. Prikažimo ih:
x 1 \u003d 2+? 64/2 * (-1) \u003d -5, x 2 \u003d 2-? 64/2 * (- 1) \u003d 3.

Izrežemo treću
a \u003d 1, b \u003d 12, c \u003d 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, što je nula i ima jedan korijen
x \u003d -12 +? 0/2 * 1 \u003d -6.
Riješiti ove jednadžbe nije teško.

Ako nam je data nepotpuna kvadratna jednadžba. Kao što su

1x 2 + 9x \u003d 0
2x 2 - 16 \u003d 0

Te se jednadžbe razlikuju od gornjih, jer nije potpuna, u njoj nema treće vrijednosti. No, uprkos tome, to je jednostavnije od kompletne kvadratne jednadžbe i ne morate u njoj tražiti diskriminirajućih.

Šta učiniti kada hitno trebate tezu ili esej, ali nema vremena za pisanje? Sve to i puno više možete naručiti na web stranici Deeplom.by (http://deeplom.by/) i dobiti najvišu ocjenu.

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene kompletne kvadratne jednadžbe.

Uz pomoć diskriminirajućih, rješavaju se samo kompletne kvadratne jednadžbe, a druge metode se koriste za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koje ćete naći u članku "Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi".

Koje se kvadratne jednadžbe nazivaju potpunim? to jednadžbe oblika ax 2 + b x + c \u003d 0pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da biste riješili potpunu kvadratnu jednadžbu, morate izračunati diskriminirajući D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Ovisno o tome kakvu vrijednost ima diskriminator, odgovor ćemo zapisati.

Ako je diskriminator negativan (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminant nula, tada je x \u003d (-b) / 2a. Kad je diskriminant pozitivan broj (D\u003e 0),

tada je x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, i x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Na primjer. Riješite jednadžbu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Odgovor: 2.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + 81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odgovor: - 3,5; 1.

Dakle, predstavit ćemo rješenje cjelovitih kvadratnih jednadžbi pomoću sklopa na slici 1.

Svaka kompletna kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću ovih formula. Samo morate biti oprezni da to osigurate jednadžba je napisana kao standardni polinom

i x 2 + bx + c, u suprotnom možete pogriješiti. Na primjer, pisanjem jednadžbe x + 3 + 2x 2 \u003d 0, možete pogrešno odlučiti o tome

a \u003d 1, b \u003d 3 i c \u003d 2. Zatim

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A to nije tačno. (Pogledajte rješenje primjera 2 gore).

Prema tome, ako jednadžba nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se mora cjelokupna kvadratna jednadžba napisati kao polinom standardnog oblika (u prvom redu treba biti monom s najvećim eksponentom, tj. i x 2 , onda sa manje – bxa zatim slobodan član od.

Pri rješavanju smanjene kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s jednolikim koeficijentom u drugom pojasu, mogu se koristiti i druge formule. Upoznajmo se i sa tim formulama. Ako je u punoj kvadratnoj jednadžbi s drugim pojmom koeficijent paran (b \u003d 2k), tada se jednadžba može riješiti pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 2.

Kompletna kvadratna jednadžba naziva se smanjenom ako je koeficijent na x 2 jednaka je jednadžbi i jednačina ima oblik x 2 + px + q \u003d 0... Takva jednadžba može se dati za rješenje ili je dobivena dijeljenjem svih koeficijenata jednadžbe s koeficijentom istojeći x 2 .

Na slici 3 prikazana je shema rješavanja smanjenog kvadrata
jednadžbe. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima je riječ u ovom članku.

Primjer. Riješite jednadžbu

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1 - √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3

Može se primijetiti da je koeficijent na x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno, b \u003d 6 ili b \u003d 2k, odakle je k \u003d 3. Tada ćemo pokušati riješiti jednadžbu prema formulama prikazanim u dijagramu na slici D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3... Primjećujući da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi podijeljeni s 3 i izvodeći dijeljenje, dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Riješite ovu jednadžbu pomoću formula za reduciranu kvadraturu
jednadžba slika 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3.

Kao što vidite, pri rješavanju ove jednadžbe pomoću različitih formula, dobili smo isti odgovor. Stoga, dobro savladavši formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu.

blog, web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala potrebna je veza do izvora.

Kopyevskaya seoska srednja škola

10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

Voditeljica: Galina Anatolivna Patrikeyeva,

nastavnik matematike

selo Kopyevo, 2007

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u drevnom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe iz Al-Horezmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII veka

1.6 O Vieta-ovom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Literatura

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u drevnom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, nego i drugog stupnja još u davnim vremenima, uzrokovana je potrebom rješavanja problema povezanih s pronalaskom područja kopna i zemljanih radova vojne prirode, kao i s razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe uspjeli su riješiti oko 2000. godine prije nove ere. e. Vavilonci.

Koristeći suvremenu algebarsku notaciju, možemo reći da se u njihovim kinografskim tekstovima nalaze, pored nepotpunih, kao što su, na primjer, kompletne kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi koje je izloženo u vavilonskim tekstovima poklapa se u osnovi s modernim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi dosad pronađeni kinografski tekstovi samo stvaraju probleme s rješenjima koja su postavljena u obliku recepata, bez uputa kako su ih pronašli.

Uprkos visokom stupnju razvoja algebre u Babilonu, u kinoiformnim tekstovima nedostaje pojam negativnog broja i općenitih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe.

U "Aritmetičari" Diofanta ne postoji sustavni prikaz algebre, ali ona sadrži sustavni niz problema, popraćen objašnjenjima i riješen crtanjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Prilikom sastavljanja jednadžbi Diophant vješto bira nepoznanice radi pojednostavljenja rješenja.

Evo, na primer, jedan od njegovih zadataka.

Problem 11. Pronađite dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a proizvod 96

Diofant tvrdi da slijedi: iz uvjeta problema proizlazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, tada bi njihov proizvod bio jednak ne 96, nego 100. Dakle, jedan od njih iznosit će više od polovice njihove svote, tj. ... 10 + x, a druga je manje, tj. 10 - x... Razlika između njih 2x.

Otuda jednačina:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Odavde x \u003d 2... Jedan od potrebnih brojeva je 12 , drugo 8 ... Odluka x \u003d -2 za Diofanta ne postoji, jer je grčka matematika znala samo pozitivne brojeve.

Ako riješimo ovaj problem, odabirom jednog od potrebnih brojeva kao nepoznatog, tada dolazimo do rješenja jednadžbe

y (20 - y) \u003d 96,

y 2 - 20y + 96 \u003d 0. (2)

Jasno je da odabirom pola razlike traženih brojeva kao nepoznatog, Diofant pojednostavljuje rješenje; uspijeva smanjiti problem rješavanjem nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednadžbe već se susreću u astronomskom traktu „Aryabhattiam“, koji je 499. sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski učenjak, Brahmagupta (VII vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednadžbi, svedeno na jedan kanonski oblik:

ah 2 +bx \u003d c, a\u003e 0. (1)

U jednadžbi (1) koeficijenti, osim i, može biti negativan. Pravilo Brahmagupta u osnovi je isto kao i naše.

U staroj Indiji javno nadmetanje za teške probleme bilo je uobičajeno. Jedna od drevnih indijskih knjiga kaže sljedeće o takvim natjecanjima: „Kao što sunce pomrači zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba pomijeniti slavu drugog u popularnim skupštinama, predlažući i rješavajući algebarske probleme“. Problemi su se često oblačili u poetsku formu.

Evo jednog od zadataka čuvenog indijskog matematičara XII veka. Bhaskaras.

Problem 13.

"Frisky jato majmuna i dvanaest duž vinove loze ...

Nakon što je pojeo snagu, zabavio se. Počeli su skakati, viseći ...

Na trgu ih je osmi dio Koliko je majmuna bilo,

Zabavljao sam se na čistini. Kažete mi, u ovom paketu? "

Rješenje Bhaskare ukazuje na to da je znao za dvrijedne korijene kvadratnih jednadžbi (Sl. 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara pod krinkom piše:

x 2 - 64x \u003d -768

a da biste lijevu stranu ove jednadžbe dovršili s kvadratom, dodaje se obje strane 32 2 , zatim dobivanje:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe za al - Horezmi

U algebarskom traktatu al - Khorezmi dana je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c \u003dbx.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax 2 \u003d c.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah \u003d c.

4) "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", tj ax 2 + c \u003dbx.

5) "Kvadrati i korijeni jednaki su broju", tj. ah 2 +bx \u003d s.

6) "Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima", tj.bx + c \u003d os 2

Za al - Khorezmija, koji je izbjegao korištenje negativnih brojeva, izrazi svake od tih jednadžbi su zbrajeni, a ne oduzimani. U ovom se slučaju jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja ne uzimaju u obzir. Autor ocrtava metode za rješavanje gore navedenih jednadžbi koristeći tehnike al - džabr i al - mukabale. Njegova odluka se, naravno, ne podudara u potpunosti s našom. Osim činjenice da je čisto retorička, valja napomenuti da, primjerice, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al - Horezmi, kao i svi matematičari do 17. vijeka, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što nije važno u konkretnim praktičnim problemima. Pri rješavanju cjelovitih kvadratnih jednadžbi, al - Khwarizmi, koristeći posebne numeričke primjere, postavlja pravila za rješavanje, a zatim i geometrijske dokaze.

Problem 14. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađi korijen " (podrazumijeva korijen jednadžbe x 2 + 21 \u003d 10x).

Autorsko rješenje glasi ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmite 21 od proizvoda, bit će 4. Izvadite korijen 4, dobit ćete 2. Oduzeti 2 od 5, dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što daje 7, ovo je i korijen.

Traktat al - Khorezmi prva je knjiga koja je došla do nas u kojoj se sustavno prikazuje klasifikacija kvadratnih jednadžbi i daju se formule za njihovo rješenje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u EvropiXIII - XVII cc

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi na modelu al - Khorezmija u Evropi prvi su put izložene u "Knjizi Abaka" koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibachic. Ovo opsežno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama, tako i drevnoj Grčkoj, odlikuje se i cjelovitošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga doprinijela je širenju algebričnih znanja ne samo u Italiji, već i u Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz "Knjige o Abasku" preneseni su u skoro sve evropske udžbenike 16. - 17. vijeka. a dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2 +bx \u003d s,

sa svim mogućim kombinacijama znakova koeficijenta b, odformulisan je u Evropi tek 1544. godine M. Stiefel.

Vieta ima generalnu izvedbu formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznala samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativnih korijena. Tek u 17. veku. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi poprima moderan oblik.

1.6 O teoremi Viete

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, nazvanog Vieta, prvi je put formulirao 1591. godine kako slijedi: „Ako B + Dpomnoženo sa A - A 2 , jednako BDonda Ajednako IN i jednako D».

Da biste razumjeli Vieta, treba ga se podsjetiti Ikao i svaki samoglasnik značio je za njega nepoznato (naše x), samoglasnici IN,D - koeficijente za nepoznato. Na jeziku moderne algebre, Vietaova gornja formulacija znači: ako

(+)b) x - x 2 \u003dab,

x 2 - (a +)b) x + ab = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003db.

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednadžbi općim formulama napisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio jednoobraznost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, Vieta-ov simbolizam je još uvijek daleko od njegovog modernog oblika. Nije prepoznao negativne brojeve i stoga je pri rješavanju jednadžbi uzimao u obzir samo slučajeve kada su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstvena građevina algebre. Kvadratne jednadžbe široko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednakosti. Svi znamo kako riješiti kvadratne jednadžbe od škole (8. razred), pa sve do diplome.